Encontre as soluções reais das equações abaixo, caso existam.
\(\left(\frac{x}{2}+1\right)^{2}=\frac{9}{4})

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação
\left(\frac{x}{2}+1\right)^{2}=\frac{9}{4}.
Informações dadas:
  • A expressão \left(\dfrac{x}{2}+1\right)^{2} é igual a \dfrac{9}{4}.
  • Procurar todos os valores de x reais que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Entendimento da operação essencial (pequena “aula”): quando uma expressão A satisfaz
A^{2}=B
com B\ge 0, então A=\pm\sqrt{B}. Ou seja, há duas possibilidades: A=\sqrt{B} ou A=-\sqrt{B}. Aqui A será \dfrac{x}{2}+1 e B=\dfrac{9}{4}. Note que \dfrac{9}{4} é não-negativo, então a regra vale normalmente.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema: definir
A=\frac{x}{2}+1,\qquad B=\frac{9}{4},
logo
\frac{x}{2}+1=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}.
Temos, portanto, duas equações lineares em x:
\frac{x}{2}+1=\frac{3}{2}
e
\frac{x}{2}+1=-\frac{3}{2}.

Passo 4

Resolver a primeira equação \displaystyle \frac{x}{2}+1=\frac{3}{2}.
Subtrair 1 de ambos os lados:
\frac{x}{2}=\frac{3}{2}-1.
Calcular a diferença de frações:
\frac{3}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\frac{x}{2}=\frac{1}{2}.
Multiplicar ambos os lados por 2:
x=1.

Passo 5

Resolver a segunda equação \displaystyle \frac{x}{2}+1=-\frac{3}{2}.
Subtrair 1 de ambos os lados:
\frac{x}{2}=-\frac{3}{2}-1.
Calcular a soma de frações (com sinal):
-\frac{3}{2}-1=-\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=-\frac{5}{2}.
Portanto
\frac{x}{2}=-\frac{5}{2}.
Multiplicar ambos os lados por 2:
x=-5.

Passo 6

Verificação rápida (checando na equação original):
Para x=1:
\left(\frac{1}{2}+1\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4},
ok.
Para x=-5:
\left(\frac{-5}{2}+1\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4},
ok.
Ambos satisfazem a equação.

Resposta

x=1
x=-5

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