Encontre uma solugato explicita para o PVI abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial exata (forma 1):
com condição inicial
.
O que se pede: encontrar uma solução explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações dadas:
- A equação diferencial escrita como
com e . - Condição inicial
.
Passo 2
Verificar se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata na forma atual.
Passo 3
Procurar um fator integrante (integrating factor). Há dois testes comuns:
- Teste para
: verificar se depende apenas de . - Teste para
: verificar se depende apenas de .
Calculo a segunda expressão:
Isso depende somente de
. Logo existe um fator integrante dependente apenas de
, dado por
assumindo
. (Observação: a constante multiplicativa não importa.)
Passo 4
Multiplico toda a equação por
. Obtenho a nova forma
onde
Verifico exatidão:
portanto
e a equação é agora exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integro
em relação a
:
onde
é uma função a determinar (constante de integração em relação a
).
Passo 6
Determino
impondo
. Primeiro calculo
:
Igualando a
:
Integro
:
Logo a função potencial é
Passo 7
A solução implícita geral (após multiplicar pelo fator integrante) é
constante. Assim
Aplico a condição inicial
para encontrar
:
logo
. Então a solução implícita que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Fatorando
na expressão:
Dessa equação, as possibilidades são
ou
.
A solução
não satisfaz a condição inicial
. Portanto a solução que atende a condição inicial é