Encontre uma solugato explicita para o PVI abaixo.
6 x y d x+\left(4 y+9 x^{2}\right) d y=0, y(1)=-3 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial exata (forma 1): 6 x y\,dx + (4 y + 9 x^{2})\,dy = 0 com condição inicial y(1) = -3.
O que se pede: encontrar uma solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações dadas:
  • A equação diferencial escrita como M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=6 x y e N(x,y)=4 y+9 x^{2}.
  • Condição inicial (x,y)=(1,-3).

Passo 2

Verificar se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(6 x y\big)=6x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4 y+9 x^{2}\big)=18x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=6x\neq 18x=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação NÃO é exata na forma atual.

Passo 3

Procurar um fator integrante (integrating factor). Há dois testes comuns:
  • Teste para \mu(x): verificar se \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} depende apenas de x.
  • Teste para \mu(y): verificar se \dfrac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} depende apenas de y.
Calculo a segunda expressão:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{18x-6x}{6 x y}=\frac{12x}{6 x y}=\frac{2}{y}.
Isso depende somente de y. Logo existe um fator integrante dependente apenas de y, dado por
\mu(y)=\exp\!\bigg(\int \frac{2}{y}\,dy\bigg)=\exp\!\big(2\ln|y|\big)=y^{2},
assumindo y\neq 0. (Observação: a constante multiplicativa não importa.)

Passo 4

Multiplico toda a equação por \mu(y)=y^{2}. Obtenho a nova forma
M_{1}(x,y)\,dx + N_{1}(x,y)\,dy = 0,
onde
M_{1}(x,y)=6 x y\cdot y^{2}=6 x y^{3}, \qquad N_{1}(x,y)=(4 y+9 x^{2})\cdot y^{2}=4 y^{3}+9 x^{2} y^{2}.
Verifico exatidão:
\frac{\partial M_{1}}{\partial y}=18 x y^{2}, \qquad \frac{\partial N_{1}}{\partial x}=18 x y^{2},
portanto \dfrac{\partial M_{1}}{\partial y}=\dfrac{\partial N_{1}}{\partial x} e a equação é agora exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M_{1}(x,y)=6 x y^{3}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N_{1}(x,y)=4 y^{3}+9 x^{2} y^{2}.
Integro \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=6 x y^{3} em relação a x:
\Phi(x,y)=\int 6 x y^{3}\,dx = 3 x^{2} y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (constante de integração em relação a x).

Passo 6

Determino h(y) impondo \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N_{1}(x,y). Primeiro calculo \Phi_{y}:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{2} y^{3} + h(y)\big) =9 x^{2} y^{2} + h'(y).
Igualando a N_{1}:
9 x^{2} y^{2} + h'(y)=4 y^{3}+9 x^{2} y^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=4 y^{3}.
Integro h'(y):
h(y)=\int 4 y^{3}\,dy = y^{4} + C.
Logo a função potencial é
\Phi(x,y)=3 x^{2} y^{3} + y^{4}.

Passo 7

A solução implícita geral (após multiplicar pelo fator integrante) é \Phi(x,y)= constante. Assim
3 x^{2} y^{3} + y^{4} = C.
Aplico a condição inicial y(1)=-3 para encontrar C:
3\cdot 1^{2}\cdot(-3)^{3} + (-3)^{4} = 3\cdot(-27) + 81 = -81 +81 = 0,
logo C=0. Então a solução implícita que satisfaz a condição inicial é
3 x^{2} y^{3} + y^{4} = 0.

Passo 8

Fatorando y^{3} na expressão:
y^{3}\big(3 x^{2} + y\big)=0.
Dessa equação, as possibilidades são y^{3}=0\Rightarrow y\equiv 0 ou 3 x^{2}+y=0\Rightarrow y=-3 x^{2}.
A solução y\equiv 0 não satisfaz a condição inicial y(1)=-3. Portanto a solução que atende a condição inicial é
y(x)=-3 x^{2}.

Resposta

y(x)=-3 x^{2}

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