Reduza à forma a+b i cada uma das expressões dadas abaixo.
\frac{1+i}{3-2 i}

Passo 1

O enunciado pede: reduzir à forma a+b i a expressão
\frac{1+i}{3-2 i}.
Informações dadas:
  • Numerador: (1+i).
  • Denominador: (3-2 i).
    Pergunta: encontrar a e b tais que o quociente seja \,a+b i.

Passo 2

Estratégia (explicação didática e motivo):
  • Para dividir números complexos sem deixar i no denominador, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
  • O conjugado de (3-2i) é (3+2i). Por que isso funciona? Porque, para números reais a,b,
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,
que é um número real (não tem parte imaginária). Assim o produto do denominador pelo seu conjugado vira um número real, facilitando a separação em parte real e imaginária.
  • Lembrete básico usado: \,i^2=-1.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{1+i}{3-2i}\cdot\frac{3+2i}{3+2i}=\frac{(1+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}.

Passo 4

Calculo o denominador. Expando (3-2i)(3+2i) passo a passo:
(3-2i)(3+2i)=3\cdot3+3\cdot2i-2i\cdot3-2i\cdot2i.
Agora calcular cada termo e usar \,i^2=-1:
=9+6i-6i-4i^2=9+(6i-6i)-4(-1)=9+0+4=13.
Logo o denominador é \,13.

Passo 5

Calculo o numerador. Expando (1+i)(3+2i) passo a passo:
(1+i)(3+2i)=1\cdot3+1\cdot2i+i\cdot3+i\cdot2i.
Calculando e lembrando que i^2=-1:
=3+2i+3i+2i^2=3+(2i+3i)+2(-1)=3+5i-2=1+5i.
Portanto o numerador é \,1+5i.

Passo 6

Agora a fração ficou
\frac{1+5i}{13}.
Separe em parte real e imaginária dividindo cada termo por 13:
\frac{1+5i}{13}=\frac{1}{13}+\frac{5}{13}i.
Pronto — está na forma a+b i com a=\dfrac{1}{13} e b=\dfrac{5}{13}.

Resposta

\dfrac{1}{13}+\dfrac{5}{13}i

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