Nos itens abaixo determine um número z que satisfaça a equação dada.
|z|^{2}+1+12 i=6 z

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um número complexo z que satisfaça a equação
|z|^{2}+1+12 i=6 z.
Informações dadas:
  • A expressão envolve o módulo de z, isto é |z|.
  • O termo 12i aparece na parte imaginária.
  • Quer-se encontrar todos os z (se houver mais de um) que satisfaçam essa igualdade.

Passo 2

Primeiro passo prático: representar z em termos das suas partes real e imaginária. Escrevemos
z = x + i y,
onde x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z. Ambos x e y são números reais.
Explicação do que é o módulo: para z=x+iy,
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
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|z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
Isto é só a soma dos quadrados das partes real e imaginária — uma fórmula que dá pra usar diretamente.

Passo 3

Substituímos z=x+iy e |z|^{2}=x^{2}+y^{2} na equação dada. Fazendo isso obtemos:
x^{2}+y^{2}+1+12i = 6(x+iy).
Agora expandimos o lado direito:
x^{2}+y^{2}+1+12i = 6x + 6iy.

Passo 4

Para duas expressões complexas serem iguais, suas partes reais devem ser iguais e suas partes imaginárias também devem ser iguais. Portanto separamos a igualdade em duas equações reais:
  • equação das partes reais:
x^{2}+y^{2}+1 = 6x,
  • equação das partes imaginárias:
12 = 6y.
Isto é válido porque a igualdade de complexos a+ib = c+id implica a=c e b=d.

Passo 5

Resolvemos primeiro a equação das partes imaginárias, que é mais simples:
12 = 6y \quad\Rightarrow\quad y = \frac{12}{6} = 2.
Então já sabemos a parte imaginária: y=2.

Passo 6

Agora substituímos y=2 na equação das partes reais:
x^{2}+y^{2}+1 = 6x
x^{2}+2^{2}+1 = 6x
x^{2}+4+1 = 6x
x^{2}-6x+5=0.
Obtivemos uma equação quadrática em x.

Passo 7

Resolvendo a quadrática x^{2}-6x+5=0. Podemos tentar fatorar:
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5).
Isto é porque -1 e -5 somam -6 e multiplicam +5. Assim as raízes são
x=1 \quad\text{ou}\quad x=5.
Então a parte real x pode ser 1 ou 5, enquanto vimos que y=2.

Resposta

z=1+2i
z=5+2i

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