Nos itens abaixo determine um número z que satisfaça a equação dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um número complexo
que satisfaça a equação
Informações dadas:
- A expressão envolve o módulo de
, isto é . - O termo
aparece na parte imaginária. - Quer-se encontrar todos os
(se houver mais de um) que satisfaçam essa igualdade.
Passo 2
Primeiro passo prático: representar
em termos das suas partes real e imaginária. Escrevemos
onde
é a parte real de
e
é a parte imaginária de
. Ambos
e
são números reais.
Explicação do que é o módulo: para
,
logo
Isto é só a soma dos quadrados das partes real e imaginária — uma fórmula que dá pra usar diretamente.
Passo 3
Substituímos
e
na equação dada. Fazendo isso obtemos:
Agora expandimos o lado direito:
Passo 4
Para duas expressões complexas serem iguais, suas partes reais devem ser iguais e suas partes imaginárias também devem ser iguais. Portanto separamos a igualdade em duas equações reais:
- equação das partes reais:
- equação das partes imaginárias:
Isto é válido porque a igualdade de complexos
implica
e
.
Passo 5
Resolvemos primeiro a equação das partes imaginárias, que é mais simples:
Então já sabemos a parte imaginária:
.
Passo 6
Agora substituímos
na equação das partes reais:
Obtivemos uma equação quadrática em
.
Passo 7
Resolvendo a quadrática
. Podemos tentar fatorar:
Isto é porque
e
somam
e multiplicam
. Assim as raízes são
Então a parte real
pode ser
ou
, enquanto vimos que
.