Mostre que, se a série
converge, então
. Essa é a ideia por trás do chamado Teste para a Divergência, que afirma: se
, então a série diverge. (Dica: Considere a sequência das somas parciais
, e note que
. Se
, o que isso nos diz sobre
?)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá que a série
converge. - Define a sequência das somas parciais
. - Pede para mostrar que
.
Observação útil do enunciado:. O objetivo é usar a hipótese (para algum ) e deduzir algo sobre .
Passo 2
Entenda exatamente o significado de “a série converge”.
- Por definição, a série
converge se, e somente se, a sequência das somas parciais converge. - Ou seja, existe um número real
tal que quando .
Esta é a hipótese que vamos usar: suponha que.
Passo 3
Mostre que a sequência “deslocada”
também converge para o mesmo limite.
- Intuição: se
fica cada vez mais perto de , então qualquer termo com índice maior (como ) também fica perto de . - Prova por
-definição: seja . Como , existe tal que, para todo , Tomando , para todo temos . Logo . - Conclusão:
.
Passo 4
Relacione
com as somas parciais.
- Pela definição das somas parciais,
Essa identidade é apenas álgebra: a soma até menos a soma até deixa o termo .
Passo 5
Use propriedades de limites para obter o limite de
.
- Sabemos que
e . - Uma propriedade básica de limites diz que, se duas sequências convergem, então a sequência formada pela diferença converge para a diferença dos limites. Portanto,
Passo 6
Passe do índice
para
e conclua.
- Se
, então também (mudar o índice finitamente não altera o limite). - Portanto
.
Passo 7
Interpretação final e observações importantes (motivação do Teste para a Divergência).
- Resultado provado: se a série
converge então . - Contraposição (o Teste para a Divergência): se
(ou o limite não existe), então a série não pode convergir, ou seja, diverge. - Aviso prático: a condição
é necessária para convergência, mas não suficiente. Exemplo clássico: satisfaz mas a série (série harmônica) diverge.