Mostre que, se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0. Essa é a ideia por trás do chamado Teste para a Divergência, que afirma: se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0, então a série diverge. (Dica: Considere a sequência das somas parciais s_{n}= a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, e note que s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}. Se s_{n} \rightarrow L, o que isso nos diz sobre a_{n} ?)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge.
  • Define a sequência das somas parciais s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}.
  • Pede para mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
    Observação útil do enunciado: s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}. O objetivo é usar a hipótese s_{n}\to L (para algum L) e deduzir algo sobre a_{n}.

Passo 2

Entenda exatamente o significado de “a série converge”.
  • Por definição, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge se, e somente se, a sequência das somas parciais (s_{n}) converge.
  • Ou seja, existe um número real L tal que \displaystyle s_{n}\to L quando n\to\infty.
    Esta é a hipótese que vamos usar: suponha que \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_{n}=L.

Passo 3

Mostre que a sequência “deslocada” (s_{n+1}) também converge para o mesmo limite.
  • Intuição: se s_{n} fica cada vez mais perto de L, então qualquer termo com índice maior (como s_{n+1}) também fica perto de L.
  • Prova por \varepsilon-definição: seja \varepsilon>0. Como s_{n}\to L, existe N tal que, para todo m\ge N, |s_{m}-L|<\varepsilon.Tomando m=n+1, para todo n\ge N-1 temos |s_{n+1}-L|<\varepsilon. Logo \displaystyle s_{n+1}\to L.
  • Conclusão: \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_{n+1}=L.

Passo 4

Relacione a_{n} com as somas parciais.
  • Pela definição das somas parciais, a_{n+1}=s_{n+1}-s_{n}.Essa identidade é apenas álgebra: a soma até n+1 menos a soma até n deixa o termo a_{n+1}.

Passo 5

Use propriedades de limites para obter o limite de a_{n+1}.
  • Sabemos que \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_{n+1}=L e \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_{n}=L.
  • Uma propriedade básica de limites diz que, se duas sequências convergem, então a sequência formada pela diferença converge para a diferença dos limites. Portanto, \lim_{n\to\infty} a_{n+1} =\lim_{n\to\infty}\bigl(s_{n+1}-s_{n}\bigr) =\lim_{n\to\infty} s_{n+1}-\lim_{n\to\infty} s_{n} =L-L=0.

Passo 6

Passe do índice n+1 para n e conclua.
  • Se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1}=0, então também \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 (mudar o índice finitamente não altera o limite).
  • Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

Passo 7

Interpretação final e observações importantes (motivação do Teste para a Divergência).
  • Resultado provado: se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge então \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
  • Contraposição (o Teste para a Divergência): se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0 (ou o limite não existe), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} não pode convergir, ou seja, diverge.
  • Aviso prático: a condição \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 é necessária para convergência, mas não suficiente. Exemplo clássico: a_{n}=1/n satisfaz \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 mas a série \sum 1/n (série harmônica) diverge.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0

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