Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.) \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}
Esses termos formam uma progressão geométrica: cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma mesma constante. Logo, a série é uma série geométrica.
Identificação dos parâmetros da série geométrica:
Primeiro termo (quando n=1): a=3.
Razão: r=-\dfrac{1}{4}.
Passo 3
Lembrete (fórmula e interpretação):
Uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r (com r\neq1) tem a soma parcial de N termos dada por
S_N = a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Aqui S_N é a soma dos primeiros N termos, a é o primeiro termo (ou seja, o termo para n=1) e r é a razão entre termos sucessivos.
Derivação rápida (útil para a prova): escrever S_N=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N-1}, multiplicar ambos os lados por r e subtrair para obter a fórmula acima. Essa é uma técnica padrão e vale sempre para r\neq1.
Passo 4
Critério de convergência para a série geométrica infinita:
A série geométrica infinita converge se, e somente se, |r|<1.