Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}
é convergente ou divergente. Se for convergente, determinar a sua soma. A dica lembra que uma série geométrica converge se a razão satisfaz |r|<1.
Informações fornecidas:
  • A série está escrita como uma soma indexada por n de 3\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}.
  • Pedido: testar convergência e, quando convergente, calcular a soma.

Passo 2

Vamos olhar os primeiros termos para identificar o tipo de série (isso ajuda a ver o padrão):
\begin{aligned} \text{para } n=1 &: \; 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{0}=3,\\\ \text{para } n=2 &: \; 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{1}=-\frac{3}{4},\\\ \text{para } n=3 &: \; 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}= \frac{3}{16},\\\ \text{para } n=4 &: \; 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{3}= -\frac{3}{64},\\ \text{etc.} \end{aligned}
Esses termos formam uma progressão geométrica: cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma mesma constante. Logo, a série é uma série geométrica.
Identificação dos parâmetros da série geométrica:
  • Primeiro termo (quando n=1): a=3.
  • Razão: r=-\dfrac{1}{4}.

Passo 3

Lembrete (fórmula e interpretação):
  • Uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r (com r\neq1) tem a soma parcial de N termos dada por
S_N = a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Aqui S_N é a soma dos primeiros N termos, a é o primeiro termo (ou seja, o termo para n=1) e r é a razão entre termos sucessivos.
Derivação rápida (útil para a prova): escrever S_N=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N-1}, multiplicar ambos os lados por r e subtrair para obter a fórmula acima. Essa é uma técnica padrão e vale sempre para r\neq1.

Passo 4

Critério de convergência para a série geométrica infinita:
  • A série geométrica infinita converge se, e somente se, |r|<1.
  • No caso |r|<1, tem-se
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{\,n-1}=\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{a}{1-r},
pois r^{N}\to0 quando |r|<1.
Aplicando ao nosso caso:
r=-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad |r|=\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}<1.
Portanto a condição de convergência está satisfeita e a série converge.

Passo 5

Agora calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica (já que converge):
\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}=\frac{a}{1-r}
com a=3 e r=-\dfrac{1}{4}. Substituindo:
\frac{3}{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}=\frac{3}{1+\dfrac{1}{4}}=\frac{3}{\tfrac{5}{4}}.

Resposta

\dfrac{12}{5}

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