Encontre a soma das seguintes séries:
(l) sumn=0^+infty(52^n+13^n)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=0^+inftyl(tfrac52^n+tfrac13^nr).
O conteúdo aqui é soma de séries geométricas, e vamos usar a fórmula
sumn=0^inftyr^n=11-r,para |r|<1

Passo 2

Separamos a soma em duas séries geométricas:
sumn=0^inftyl(tfrac52^n+tfrac13^nr) =sumn=0^infty52^n +sumn=0^infty13^n =5sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n +sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n

Passo 3

Calculamos a primeira série geométrica com r=tfrac12:
sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n =11-tfrac12=2,
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5sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n =5cdot 2=10

Passo 4

Calculamos a segunda série geométrica com r=tfrac13:
sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n =11-tfrac13=32

Passo 5

Somando os resultados obtidos:
10+32=202+32=232

Resposta

232

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