Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ ly^prime=2 xy+x^2 y y(0)=-2\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'=2xy + x^2y, y(0)=-2
Esse é um caso de equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável. Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Reescrevendo o denominador como y(1+x^2), temos
dydx=2xy,(1+x^2)
Agora separamos as variáveis, agrupando y com dy e x com dx:
y,dy=2x1+x^2,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral y,dy = integral 2x1+x^2,dx
No lado esquerdo vem
integral y,dy = y^22,
e no direito, usando u=1+x^2 com du=2x,dx, obtemos
integral 2x1+x^2,dx = integral 1u,du = lnl(1+x^2r) + C
Logo
y^22 = lnl(1+x^2r) + C

Passo 4

Isolando y^2 e redefinindo a constante, escrevemos
y^2 = 2lnl(1+x^2r) + C1
Usando a condição inicial y(0)=-2, temos
4 = 2ln(1+0^2) + C1 Longrightarrow C1=4
Portanto
y^2 = 2lnl(1+x^2r) + 4
Como y(0)=-2 é negativo, escolhemos o ramo negativo da raiz.

Resposta

y(x) = -raiz,2lnl(1+x^2r) + 4,

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