Encontre a soma das seguintes séries:
(m) sumn=0^+infty(12^n+(-1)^n5^n)

Passo 1

O enunciado pede calcular a soma da série
sumn=0^+inftyl(12^n+(-1)^n5^nr)
O conteúdo principal é soma de séries geométricas infinitas, que convergem se o módulo da razão é menor que 1 e cuja soma é
sumn=0^inftyar^n=a1-r

Passo 2

Podemos quebrar a soma em duas séries geométricas independentes:
sumn=0^infty12^n e sumn=0^infty(-1)^n5^n

Passo 3

Na primeira série temos a=1 e r=tfrac12, logo
sumn=0^infty12^n =11-tfrac12 =1tfrac12 =2

Passo 4

Na segunda série vemos que (-1)^n5^n=l(-tfrac15r)^n, com a=1 e r=-tfrac15, logo
sumn=0^infty(-1)^n5^n =11-(-tfrac15) =11+tfrac15 =1tfrac65 =56

Passo 5

Somando os dois resultados temos
2 + 56 = 126 + 56 = 176

Resposta

176

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