Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a soma da série ou mostrarmos que ela diverge. A série dada é
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}},
cujo termos escritos são \frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\ldots. Informações relevantes: os termos seguem a forma \frac{1}{3^{k}} para k=1,2,3,\ldots. A pergunta é: essa soma infinita converge? Se converge, qual é o seu valor?

Passo 2

Vamos estudar uma soma parcial (finita) de uma progressão geométrica, porque a série do enunciado é uma progressão geométrica. Considere os primeiros n termos de uma sequência geométrica com primeiro termo a e razão r:
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}.
Este S_n é chamado de soma parcial. Para obter uma fórmula fechada, multiplicamos por r e subtraímos:
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n},
agora subtraindo as duas expressões (forma clássica):
S_n - rS_n = a - ar^{n}.
Fatorando S_n(1-r)=a(1-r^{n}). Assim, se r\neq 1,
\boxed{S_n = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}}.
Explicação didática: esse truque cancela quase todos os termos ao subtrair as somas, sobrando só o primeiro termo a e o último ar^n, o que permite isolar S_n.

Passo 3

Agora passamos da soma parcial para a soma infinita. A soma infinita (se existir) é o limite das somas parciais quando n\to\infty:
\sum_{k=0}^{\infty} ar^{k} = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-r^{n})}{1-r}.
Precisamos saber o comportamento de r^{n} quando n\to\infty:
  • Se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Logo a soma infinita converge e vale
\frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, então r^{n} não tende a zero (ou diverge), e a série não converge (diverge).
    Intuição simples: só dá para somar infinitos termos e obter um número finito quando os termos vão decrescendo rápido o suficiente, isto é, quando a razão tem módulo menor que 1.

Passo 4

Aplique isso à série dada. Podemos reescrever a série na forma geométrica com primeiro termo a=\frac{1}{3} e razão r=\frac{1}{3}, porque os termos são
\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\ldots = a,\, ar,\, ar^2,\ldots
Verificamos |r|=\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}<1, portanto a série converge e sua soma é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3^{k}}=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}.
Agora fazemos as contas passo a passo:
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
então
\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.
Para ganhar intuição rápida: as somas parciais dão \frac{1}{3},\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}\approx0{,}444,\\ \frac{4}{9}+\frac{1}{27}=\frac{13}{27}\approx0{,}481, e isso vai se aproximando de 0{,}5.

Passo 5

Conclusão didática: a série é uma série geométrica com razão r=\frac{1}{3} (módulo menor que 1), por isso converge. Usamos a fórmula da soma infinita de uma geométrica, que é \frac{a}{1-r} quando |r|<1, e obtivemos o resultado final \frac{1}{2}. Fica a dica para a prova: ao ver termos do tipo \frac{1}{b^k} verifique se é geometricamente decrescente e aplique essa fórmula — faz a conta rapidinho e evita testes longos.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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