Calcule a soma das séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita da série:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}.
Informações dadas:
  • A soma é sobre k variando de 1 até \infty.
  • O termo geral é \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)}.
    A pergunta explícita é: qual é o valor numérico da soma infinita dessa série?

Passo 2

Ideia útil (explicação didática do conceito que vamos usar): quando temos uma fração racional cujo denominador é produto de dois fatores lineares diferentes (aqui 3k-2 e 3k+1), frequentemente conseguimos escrever o termo como soma de duas frações simples — isso se chama decomposição em frações parciais. Escrever o termo assim pode levar a um cancelamento entre termos consecutivos da soma (telecopagem), tornando possível somar a série explicitamente.
Para decompor, procuramos constantes A e B tais que, para todo inteiro k\ge1,
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{A}{3k-2}+\frac{B}{3k+1}.
Aqui A e B são números fixos (não dependem de k) que vamos determinar.

Passo 3

Determinação de A e B. Igualando as expressões obtemos:
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{A(3k+1)+B(3k-2)}{(3k-2)(3k+1)}.
Logo o numerador deve satisfazer, para todo k,
1 = A(3k+1)+B(3k-2).
Agrupando os termos em k e os termos constantes:
1 = 3(A+B)k + (A-2B).
Como essa igualdade vale para todo k, os coeficientes de k e o termo constante devem coincidir. Assim:
3(A+B)=0 \quad\text{e}\quad A-2B=1.
Da primeira equação vem B=-A. Substituindo na segunda:
A-2(-A)=1 \Rightarrow 3A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{3}.
Então B=-\frac{1}{3}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right).

Passo 4

Agora substituímos essa expressão na soma e estudamos a soma parcial. Definimos a soma parcial de ordem n:
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}.
Usando a decomposição encontrada,
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right) =\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right).

Passo 5

Mostrando o efeito telescópico (cancelamento): vamos escrever os primeiros termos da soma interna explicitamente para ver o padrão.
Para k=1: \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}.
Para k=2: \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}.
Para k=3: \dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}.
E assim por diante até k=n: \dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}.
Somando esses termos em sequência, muitos termos internos se cancelam: -\dfrac{1}{4} cancela com +\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{7} cancela com +\dfrac{1}{7}, etc. O que sobra após o cancelamento é apenas o primeiro termo positivo do primeiro somando e o último termo negativo do último somando. Logo:
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)=1-\frac{1}{3n+1}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em S_n obtemos
S_n=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3n+1}\right).
Agora passamos ao limite quando n\to\infty. Observamos que \dfrac{1}{3n+1}\to 0 quando n\to\infty. Portanto a soma infinita (limite das somas parciais) é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{3}\left(1-0\right)=\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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