Calcule a soma das séries:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma infinita da série:
Informações dadas:
- A soma é sobre
variando de até . - O termo geral é
.
A pergunta explícita é: qual é o valor numérico da soma infinita dessa série?
Passo 2
Ideia útil (explicação didática do conceito que vamos usar): quando temos uma fração racional cujo denominador é produto de dois fatores lineares diferentes (aqui
e
), frequentemente conseguimos escrever o termo como soma de duas frações simples — isso se chama decomposição em frações parciais. Escrever o termo assim pode levar a um cancelamento entre termos consecutivos da soma (telecopagem), tornando possível somar a série explicitamente.
Para decompor, procuramos constantes
e
tais que, para todo inteiro
,
Aqui
e
são números fixos (não dependem de
) que vamos determinar.
Passo 3
Determinação de
e
. Igualando as expressões obtemos:
Logo o numerador deve satisfazer, para todo
,
Agrupando os termos em
e os termos constantes:
Como essa igualdade vale para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem coincidir. Assim:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
.
Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora substituímos essa expressão na soma e estudamos a soma parcial. Definimos a soma parcial de ordem
:
Usando a decomposição encontrada,
Passo 5
Mostrando o efeito telescópico (cancelamento): vamos escrever os primeiros termos da soma interna explicitamente para ver o padrão.
Para :
.
Para :
.
Para :
.
E assim por diante até :
.
Para
Para
Para
E assim por diante até
Somando esses termos em sequência, muitos termos internos se cancelam:
cancela com
,
cancela com
, etc. O que sobra após o cancelamento é apenas o primeiro termo positivo do primeiro somando e o último termo negativo do último somando. Logo:
Passo 6
Substituindo esse resultado em
obtemos
Agora passamos ao limite quando
. Observamos que
quando
. Portanto a soma infinita (limite das somas parciais) é