Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma ou mostrar divergência da série
Informações dadas: a série é indexada por
começando em
e cada termo é
. A tarefa é decidir se essa soma converge e, se sim, calcular o seu valor.
Passo 2
Vamos reconhecer o tipo de série. Uma série geométrica é da forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Aqui cada termo pode ser escrito como potencia de uma mesma base:
Portanto a série é geométrica (apenas o índice começa em
em vez de
) com razão
Passo 3
Condição de convergência da série geométrica: uma série geométrica com razão
converge se, e somente se,
. Aqui
, então
Como
, temos
. Logo
e a série converge. (Intuição: as potências de uma base menor que 1 vão a zero rápido.)
Passo 4
Para somar a série que começa em
usamos a soma da geométrica a partir de
. Se
então a soma a partir de
é a soma total menos os primeiros cinco termos
. Outra forma direta é notar que o primeiro termo da série dada (quando
) é
Assim a soma da série dada é
Passo 5
Substituindo
na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão algébrica passo a passo. Começamos com o denominador:
Portanto
Multiplicando as potências,
. Assim obtemos a forma simplificada
Se quisermos expandir
, temos
, então outra forma equivalente é