Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\sum_{k=5}^{\infty} \frac{1}{(2+\pi)^{2 k}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma ou mostrar divergência da série
\sum_{k=5}^{\infty}\frac{1}{(2+\pi)^{2k}}.
Informações dadas: a série é indexada por k começando em 5 e cada termo é \dfrac{1}{(2+\pi)^{2k}}. A tarefa é decidir se essa soma converge e, se sim, calcular o seu valor.

Passo 2

Vamos reconhecer o tipo de série. Uma série geométrica é da forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Aqui cada termo pode ser escrito como potencia de uma mesma base:
\frac{1}{(2+\pi)^{2k}} = \big((2+\pi)^{-2}\big)^{k}.
Portanto a série é geométrica (apenas o índice começa em k=5 em vez de 0) com razão
r = (2+\pi)^{-2}.

Passo 3

Condição de convergência da série geométrica: uma série geométrica com razão r converge se, e somente se, |r|<1. Aqui 2+\pi>0, então
|r| = (2+\pi)^{-2}.
Como 2+\pi>1, temos (2+\pi)^{-2}<1. Logo |r|<1 e a série converge. (Intuição: as potências de uma base menor que 1 vão a zero rápido.)

Passo 4

Para somar a série que começa em k=5 usamos a soma da geométrica a partir de k=0. Se
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r},
então a soma a partir de k=5 é a soma total menos os primeiros cinco termos k=0,1,2,3,4. Outra forma direta é notar que o primeiro termo da série dada (quando k=5) é
a = r^{5} = (2+\pi)^{-10}.
Assim a soma da série dada é
\sum_{k=5}^{\infty} r^{k} = \frac{r^{5}}{1-r}.

Passo 5

Substituindo r=(2+\pi)^{-2} na fórmula:
\sum_{k=5}^{\infty}\frac{1}{(2+\pi)^{2k}} = \frac{(2+\pi)^{-10}}{1-(2+\pi)^{-2}}.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão algébrica passo a passo. Começamos com o denominador:
1-(2+\pi)^{-2} = \frac{(2+\pi)^{2}-1}{(2+\pi)^{2}}.
Portanto
\frac{(2+\pi)^{-10}}{1-(2+\pi)^{-2}} = (2+\pi)^{-10}\cdot\frac{(2+\pi)^{2}}{(2+\pi)^{2}-1}.
Multiplicando as potências, (2+\pi)^{-10}\cdot(2+\pi)^{2} = (2+\pi)^{-8}. Assim obtemos a forma simplificada
\frac{1}{(2+\pi)^{8}\big((2+\pi)^{2}-1\big)}.
Se quisermos expandir (2+\pi)^{2}-1, temos (2+\pi)^{2}-1 = 3 + 4\pi + \pi^{2}, então outra forma equivalente é
\frac{1}{(2+\pi)^{8}\big(3+4\pi+\pi^{2}\big)}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(2+\pi)^{8}\big((2+\pi)^{2}-1\big)}

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