Encontre a soma da série. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}.
Informações dadas:
O termo geral da série é \displaystyle \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}.
A soma pedida é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}.
Passo 2
Vou transformar a série para a forma padrão de uma série geométrica, porque é o tipo mais simples de série com soma fechada. Lembrete didático sobre série geométrica:
Uma série geométrica com primeiro termo a e razão r tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}.
Essa série converge se, e somente se, |r|<1.
Quando converge, a soma é dada por
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.
Breve justificativa da fórmula (intuição): se S_N=\sum_{k=0}^{N}ar^{k}, então (1-r)S_N=a(1-r^{N+1}); levando N\to\infty e usando |r|<1 (logo r^{N+1}\to0) obtemos S=\dfrac{a}{1-r}.
Passo 3
Reescrevendo o termo geral para identificar a e r. Primeiro note que 2^{3n}=(2^3)^n=8^n. Então