Encontre a soma da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}.
  • A soma pedida é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}.

Passo 2

Vou transformar a série para a forma padrão de uma série geométrica, porque é o tipo mais simples de série com soma fechada. Lembrete didático sobre série geométrica:
  • Uma série geométrica com primeiro termo a e razão r tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}.
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1.
  • Quando converge, a soma é dada por
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.
Breve justificativa da fórmula (intuição): se S_N=\sum_{k=0}^{N}ar^{k}, então (1-r)S_N=a(1-r^{N+1}); levando N\to\infty e usando |r|<1 (logo r^{N+1}\to0) obtemos S=\dfrac{a}{1-r}.

Passo 3

Reescrevendo o termo geral para identificar a e r. Primeiro note que 2^{3n}=(2^3)^n=8^n. Então
\frac{(-3)^{n-1}}{2^{3 n}}=\frac{(-3)^{n-1}}{8^{n}}.
Agora fatoro 8 fora para obter a potência na forma r^{n-1}:
\frac{(-3)^{n-1}}{8^{n}}=\frac{1}{8}\left(\frac{-3}{8}\right)^{n-1}.
Portanto a série pode ser vista como uma série geométrica com primeiro termo (quando n=1)
a=\frac{1}{8}
e razão
r=\frac{-3}{8}.

Passo 4

Verificação de convergência: calcule |r|:
|r|=\left|\frac{-3}{8}\right|=\frac{3}{8}<1.
Como |r|<1, a série geométrica converge e podemos usar a fórmula da soma.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma para série geométrica (com índice começando em n=1, equivalente à forma com k=n-1):
S=\frac{a}{1-r}=\frac{\dfrac{1}{8}}{1-\left(-\dfrac{3}{8}\right)}=\frac{\dfrac{1}{8}}{1+\dfrac{3}{8}}.
Calculo do denominador:
1+\frac{3}{8}=\frac{8}{8}+\frac{3}{8}=\frac{11}{8}.
Logo
S=\frac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{11}{8}}=\frac{1}{11}.

Resposta

\dfrac{1}{11}

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