Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{n 4^{n}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+2)^{n}}{n4^{n}}.
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
A série é uma série do tipo potência em torno de x=-2, pois a variável aparece como (x+2)^n.
O termo geral pode ser visto como \dfrac{(x+2)^n}{n4^n}.
Devemos determinar:
o raio de convergência R;
o intervalo de convergência (ou seja, todos os x para os quais a série converge), incluindo verificação dos pontos extremos.
Passo 2
Decidir o método e explicar a ferramenta que vou usar (sem resolver ainda).
Para séries do tipo \sum a_n (x-c)^n existe uma fórmula prática para o raio de convergência:R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},onde a_n são os coeficientes multiplicando (x-c)^n, c é o centro da série, e \sqrt[n]{\cdot} é a raiz n-ésima.
Aqui podemos tomar c=-2 e a_n=\dfrac{1}{n4^n}.
Vou aplicar essa fórmula (é equivalente ao teste da raiz aplicado à série de potências). Escolhi esse método porque os coeficientes têm a forma 1/(n4^n), e a raiz n-ésima simplifica bem o fator 4^n.
Passo 3
Calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} com a_n=\dfrac{1}{n4^n}.
Escrever a raiz n-ésima:\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{n4^n}}=\frac{1}{4}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}.
Observar o comportamento de \sqrt[n]{1/n}. Tomando logaritmo para justificar:\ln\!\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{1}{n}\right)=-\frac{\ln n}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,portanto \sqrt[n]{1/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Isso significa que a série converge absolutamente para todos os x tais que|x+2|<4,e diverge para todos os x tais que |x+2|>4.
O intervalo central (sem decidir os extremos ainda) é-6<x<2,pois -2-4=-6 e -2+4=2.
Passo 5
Verificar o extremo direito x=2.
Substituindo x=2 na série:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2+2)^{n}}{n4^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n}}{n4^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica, que diverge (é um fato clássico; por exemplo pelo teste da integral ou pela comparação com somas parciais que crescem sem limite).
Portanto, em x=2 a série diverge; o extremo direito não é incluído no intervalo de convergência.
Passo 6
Verificar o extremo esquerdo x=-6.
Substituindo x=-6 na série:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-6+2)^{n}}{n4^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-4)^{n}}{n4^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n} é (até sinal) a série harmônica alternada. Os termos em módulo são b_n=\dfrac{1}{n}, que satisfazem:
b_n é monotonicamente decrescente para n\ge1;
b_n\to0 quando n\to\infty.
Pelo teste de séries alternadas (teste de Leibniz), isso garante convergência. Portanto a série converge em x=-6.
Nota sobre convergência absoluta: \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n diverge, então a convergência em x=-6 é condicional (não é absoluta).
Passo 7
Conclusão final junta:
O raio de convergência é R=4.
O intervalo de convergência é \,[-6,2)\,: converge condicionalmente em x=-6, diverge em x=2, e converge absolutamente para todo x com -6<x<2.