Classifique as equações diferenciais a seguir quanto à:
  • ordem
  • linearidade
  • homogeneidade
    y^{\prime \prime}+x y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y''+x\,y=0.
O que se pede: classificar essa equação quanto a
  • ordem;
  • linearidade;
  • homogeneidade.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é a função y dependente da variável x (ou seja, y=y(x)).
  • Aparecem as derivadas y' e y'' e o termo x\,y.
  • O lado direito da equação é 0.

Passo 2

Ordem: definição e aplicação.
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada de y que aparece na equação.
  • Notação: y' é a primeira derivada de y em relação a x e y'' é a segunda derivada.
  • Aplicando à equação \;y''+x\,y=0\;: a maior derivada presente é y'', que é de ordem 2.
    Logo, a equação é de ordem 2.

Passo 3

Linearidade: conceito e verificação.
  • Definição prática de equação diferencial linear de ordem n: uma equação que pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo g(x) são funções de x apenas. Linearidade significa que y e suas derivadas aparecem apenas com potência 1 e não multiplicadas entre si nem em funções não lineares (como \sin(y), y^2, y\,y', etc.).
  • Reescrevendo a equação dada:
1\cdot y'' + 0\cdot y' + x\cdot y = 0,
ou seja, a_2(x)=1, a_1(x)=0, a_0(x)=x e g(x)=0.
  • Conclusão: não há termos como y^2, y\,y' ou \sin(y); todos os termos que envolvem y aparecem linearmente. Portanto a equação é linear (mais precisamente, linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de x).

Passo 4

Homogeneidade: definição e verificação.
  • Definição: uma equação linear é dita homogênea se o termo do lado direito for zero, isto é, se g(x)=0 na forma
a_n(x)\,y^{(n)}+\cdots+a_0(x)\,y = g(x).
  • Na equação dada temos g(x)=0 (o lado direito é 0).
  • Conclusão: a equação é homogênea.

Passo 5

Observações finais e exemplo para fixar:
  • A equação \;y''+x\,y=0\; é um exemplo clássico de equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis (porque a_0(x)=x não é constante).
  • Para contraste: \;y''+x\,y=\sin x\; seria linear porém não homogênea (pois g(x)=\sin x\neq0); já \;y''+y^2=0\; seria não linear (devido a y^2).

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear (linear de segunda ordem, coeficientes dependentes de x)
Homogeneidade: homogênea

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