Classifique as equações diferenciais a seguir quanto à:
- ordem
- linearidade
- homogeneidade
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede: classificar essa equação quanto a
- ordem;
- linearidade;
- homogeneidade.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é a função
dependente da variável (ou seja, ). - Aparecem as derivadas
e e o termo . - O lado direito da equação é
.
Passo 2
Ordem: definição e aplicação.
- Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada de
que aparece na equação. - Notação:
é a primeira derivada de em relação a e é a segunda derivada. - Aplicando à equação
: a maior derivada presente é , que é de ordem .
Logo, a equação é de ordem.
Passo 3
Linearidade: conceito e verificação.
- Definição prática de equação diferencial linear de ordem
: uma equação que pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo
são funções de
apenas. Linearidade significa que
e suas derivadas aparecem apenas com potência
e não multiplicadas entre si nem em funções não lineares (como
,
,
, etc.).
- Reescrevendo a equação dada:
ou seja,
,
,
e
.
- Conclusão: não há termos como
, ou ; todos os termos que envolvem aparecem linearmente. Portanto a equação é linear (mais precisamente, linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de ).
Passo 4
Homogeneidade: definição e verificação.
- Definição: uma equação linear é dita homogênea se o termo do lado direito for zero, isto é, se
na forma
- Na equação dada temos
(o lado direito é ). - Conclusão: a equação é homogênea.
Passo 5
Observações finais e exemplo para fixar:
- A equação
é um exemplo clássico de equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis (porque não é constante). - Para contraste:
seria linear porém não homogênea (pois ); já seria não linear (devido a ).
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (linear de segunda ordem, coeficientes dependentes de )
Homogeneidade: homogênea
Linearidade: linear (linear de segunda ordem, coeficientes dependentes de
Homogeneidade: homogênea