Determine se a Serie Converge an náo e diga qual
Passo 1
O enunciado dá a série
(e, como é padrão, entendo a soma para
até
). O que é pedido:
- Determinar se a série converge ou diverge.
- Dizer “qual” (isto é: que tipo de convergência, e se for convergente, obter a soma).
Informações relevantes que já temos:
-
é um número real fixo, com . - Cada termo da série é positivo, pois
para todo .
Passo 2
Vamos reconhecer o tipo da série. Note que
Portanto a série pode ser escrita como
Isto é uma série geométrica: uma série geométrica tem a forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Para a nossa escrita em que os expoentes começam em
com
podemos escolher
porque então
.
Agora uma pequena aula sobre séries geométricas:
- Critério de convergência: uma série geométrica
converge se, e somente se, . Se ela diverge. - Soma quando converge: a soma da série é dada por
desde que
. (Derivação rápida: escrever
, multiplicar por
, subtrair para eliminar termos e isolar
.)
Passo 3
Aplicando o critério ao nosso caso: a razão é
Como
, tem-se
. Logo a série geométrica converge.
Passo 4
Calcular a soma. Usando a fórmula da soma com
e
,
Fazendo as operações no denominador com frações:
então
Passo 5
Sobre o tipo de convergência: como todos os termos são não negativos, a série é absolutamente convergente (a série dos valores absolutos é a própria série). Portanto não há convergência condicional; é convergência absoluta.
Resposta
Converge (série geométrica com razão
,
).\nSoma:
.