Determine se a Serie Converge an náo e diga qual
\sum \pi^{-n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum \pi^{-n}
(e, como é padrão, entendo a soma para n=1 até +\infty). O que é pedido:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Dizer “qual” (isto é: que tipo de convergência, e se for convergente, obter a soma).
Informações relevantes que já temos:
  • \pi é um número real fixo, com \pi>1.
  • Cada termo da série é positivo, pois \pi^{-n}>0 para todo n.

Passo 2

Vamos reconhecer o tipo da série. Note que
\pi^{-n}=\left(\frac{1}{\pi}\right)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\pi}\right)^{n}.
Isto é uma série geométrica: uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Para a nossa escrita em que os expoentes começam em n=1 com (1/\pi)^{n} podemos escolher
a=\frac{1}{\pi}\qquad\text{e}\qquad r=\frac{1}{\pi},
porque então a\,r^{\,n-1}=(1/\pi)\,(1/\pi)^{n-1}=(1/\pi)^{n}.
Agora uma pequena aula sobre séries geométricas:
  • Critério de convergência: uma série geométrica \sum a\,r^{\,n-1} converge se, e somente se, |r|<1. Se |r|\ge 1 ela diverge.
  • Soma quando converge: a soma da série é dada por
S=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty} a\frac{1-r^{N}}{1-r}=\frac{a}{1-r},
desde que |r|<1. (Derivação rápida: escrever S_N=a+ar+\cdots+ar^{N-1}, multiplicar por r, subtrair para eliminar termos e isolar S_N.)

Passo 3

Aplicando o critério ao nosso caso: a razão é
r=\frac{1}{\pi}.
Como \pi>1, tem-se |r|=\dfrac{1}{\pi}<1. Logo a série geométrica converge.

Passo 4

Calcular a soma. Usando a fórmula da soma com a=\dfrac{1}{\pi} e r=\dfrac{1}{\pi},
S=\frac{a}{1-r}=\frac{\dfrac{1}{\pi}}{1-\dfrac{1}{\pi}}.
Fazendo as operações no denominador com frações:
1-\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{\pi-1}{\pi},
então
S=\frac{\dfrac{1}{\pi}}{\dfrac{\pi-1}{\pi}}=\frac{1}{\pi-1}.

Passo 5

Sobre o tipo de convergência: como todos os termos são não negativos, a série é absolutamente convergente (a série dos valores absolutos é a própria série). Portanto não há convergência condicional; é convergência absoluta.

Resposta

Converge (série geométrica com razão r=\dfrac{1}{\pi}, |r|<1).\nSoma: \dfrac{1}{\pi-1}.

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