Considere o seguinte subespaço de P^{3}([-1,1]), S=\left\{p \in P^{3}([-1,1]) ; p(-1)=0\right. e \left.p^{\prime}(1)=0\right\}. Qual é a dimensão de S ? Encontre uma base para S.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base de S = \{\,p\in P^3([-1,1]) \mid p(-1)=0\text{ e }p'(1)=0\}.
Aqui o conteúdo é espaço vetorial de polinômios de grau até 3 com duas condições lineares. Como P^3 tem dimensão 4 e impomos 2 restrições lineares independentes, esperamos que \dim S = 4 - 2 = 2. Para encontrar uma base, vamos escrever um polinômio genérico de grau \le3, impor as duas condições e resolver.

Passo 2

Seja
p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}.
A condição p(-1)=0
p(-1) = -a + b - c + d = 0.
A condição p'(1)=0, sabendo que
p'(x)=3a x^2 + 2b x + c,
implica
p'(1)=3a + 2b + c = 0.

Passo 3

Do sistema
\begin{cases} -a + b - c + d = 0,\\\\ 3a + 2b + c = 0, \end{cases}
podemos isolar c e d. De 3a+2b+c=0 segue
c = -3a - 2b.
Substituindo em -a + b - c + d = 0 obtemos
d = a - b + c = a - b + (-3a - 2b) = -2a - 3b.

Passo 4

Assim o polinômio genérico em S fica
p(x) = a\,x^3 + b\,x^2 + (-3a-2b)x + (-2a-3b).
Agrupando os parâmetros livres a e b, temos
p(x) = a\bigl(x^3 - 3x - 2\bigr) + b\bigl(x^2 - 2x - 3\bigr).
Logo todo p\in S é combinação linear de \,x^3 - 3x - 2 e \,x^2 - 2x - 3.

Resposta

A dimensão de S é 2.
Uma base para S é
\{\,x^3 - 3x - 2,\;x^2 - 2x - 3\}.

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