Considere o seguinte subespaço de P^{3}([-1,1]), S=\left\{p \in P^{3}([-1,1]) ; p(-1)=0\right. e \left.p^{\prime}(1)=0\right\}. Qual é a dimensão de S ? Encontre uma base para S.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base de S = \{\,p\in P^3([-1,1]) \mid p(-1)=0\text{ e }p'(1)=0\}.
Aqui o conteúdo é espaço vetorial de polinômios de grau até 3 com duas condições lineares. Como P^3 tem dimensão 4 e impomos 2 restrições lineares independentes, esperamos que \dim S = 4 - 2 = 2. Para encontrar uma base, vamos escrever um polinômio genérico de grau \le3, impor as duas condições e resolver.
Passo 2
Seja
p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}.
A condição p(-1)=0 dá
p(-1) = -a + b - c + d = 0.
A condição p'(1)=0, sabendo que
p'(x)=3a x^2 + 2b x + c,
implica
p'(1)=3a + 2b + c = 0.
Passo 3
Do sistema
\begin{cases} -a + b - c + d = 0,\\\\ 3a + 2b + c = 0, \end{cases}