Encontre uma substituição apropriada para resolver
x y^{\prime}=y \ln (x y) .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x\,y^{\prime}=y\ln(xy)
e pede para encontrar uma substituição apropriada e resolver a equação (ou seja, obter a solução geral y(x)). Informação importante dada pelo enunciado: a expressão \ln(xy) exige que xy>0 no domínio onde trabalhamos (caso contrário o logaritmo natural não está definido). Não vamos resolver ainda — só identificamos o que é pedido e a condição xy>0.
Passo 2
Observação motivadora: o termo \ln(xy) aparece junto com y, e xy é uma combinação natural das variáveis x e y. Isso sugere a substituição
u = x y.
Agora escrevemos y em função de u:
y=\frac{u}{x}.
Precisamos também de y^{\prime} em termos de u e x. Aplicando a regra da derivada do quociente (ou a regra da cadeia combinada com produto), obtemos
y'=\frac{1}{x}\frac{du}{dx}-\frac{u}{x^{2}}.
Multiplicando por x (pois a equação original tem x y') fica mais simples:
x y'=\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}.
Passo 3
Substituímos na equação original x y'=y\ln(xy). Lado esquerdo ficou \dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{x}. O lado direito é y\ln(xy)=\dfrac{u}{x}\ln u (usei u=xy). Assim chegamos à equação para u(x):
\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}=\frac{u}{x}\ln u.
Reorganizando,
\frac{du}{dx}=\frac{u}{x}\bigl(1+\ln u\bigr).
Aqui é importante observar que usamos u>0 (para o \ln u fazer sentido) e u\neq 0 para podermos dividir por u.
Passo 4
A equação para u é separável. Colocamos todos os termos em u de um lado e os termos em x do outro:
\frac{du}{u(1+\ln u)}=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Para a integral à esquerda, fazemos a substituição auxiliar v=\ln u. Então dv=\dfrac{du}{u}. Assim
Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma só constante) obtemos
\ln\bigl|1+\ln u\bigr|=\ln|x|+C_1.
Passo 5
Exponentiando ambos os lados (e absorvendo o sinal e e^{C_1} numa constante arbitrária C), obtemos
\bigl|1+\ln u\bigr|=C|x|.
Podemos então escrever, com C qualquer constante real (positiva, negativa ou zero),
1+\ln u = C x.
Isto dá
\ln u = C x -1
e portanto
u=e^{C x -1}.
Nota importante: o caso C=0 dá u=e^{-1}, que é uma solução constante para u e corresponde à solução especial y=e^{-1}/x (essa solução está incluída na família geral acima).
Passo 6
Voltando à variável original y, lembramos que y=\dfrac{u}{x}. Substituindo u achado,
y(x)=\frac{1}{x}e^{C x -1}.
Para checar rapidamente: calcule y' e substitua na equação original; com u=e^{Cx-1} tem-se \ln u = Cx-1 e tudo confere, então a família obtida é solução geral (no domínio onde xy>0, i.e. u>0).