Resolva o problema de valor inicial homogêneo dado.
\left(x^{2}+2 y^{2}\right) \frac{d x}{d y}=x y, \quad y(-1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}+2y^{2}\right)\frac{dx}{dy}=xy
e a condição inicial escrita como y(-1)=1. Como a equação está na forma \dfrac{dx}{dy} (ou seja, x é função de y), transformamos a condição inicial para a forma equivalente para x: a condição y(-1)=1 significa que quando x=-1 temos y=1, logo invertendo: x(1)=-1. Portanto a condição inicial apropriada para a solução x(y) é
x(1)=-1.
Resumo do que temos:
  • Equação: \left(x^{2}+2y^{2}\right)\dfrac{dx}{dy}=xy.
  • Condição inicial: x(1)=-1.
    A partir daqui vamos resolver para x em função de y.

Passo 2

Colocamos a equação em forma explícita para \dfrac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy}=\frac{xy}{x^{2}+2y^{2}}.
Observa-se que os termos do numerador e do denominador têm grau homogêneo (grau 2) em x,y. Para equações homogêneas da forma \dfrac{dx}{dy}=F\!\left(\dfrac{x}{y}\right) é comum usar a substituição
x=v y,
onde v é função de y. Vou explicar essa ideia: v representa a razão \dfrac{x}{y}. Se conseguirmos escrever a derivada em termos de v e y, podemos separar variáveis.

Passo 3

Calculamos \dfrac{dx}{dy} com x=vy. Usando a regra do produto:
\frac{dx}{dy}=v+y\frac{dv}{dy}.
Agora substituímos x=vy e \dfrac{dx}{dy} na equação original:
v+y\frac{dv}{dy}=\frac{(vy)\,y}{(vy)^{2}+2y^{2}}.
No lado direito simplificamos y^{2}:
\frac{(vy)\,y}{v^{2}y^{2}+2y^{2}}=\frac{v}{v^{2}+2}.
Portanto obtemos a equação para v(y):
v+y\frac{dv}{dy}=\frac{v}{v^{2}+2}.

Passo 4

Isolamos o termo com \dfrac{dv}{dy}:
y\frac{dv}{dy}=\frac{v}{v^{2}+2}-v = v\!\left(\frac{1}{v^{2}+2}-1\right) = -v\frac{v^{2}+1}{v^{2}+2}.
Logo
\frac{dv}{dy}=-\frac{v(v^{2}+1)}{(v^{2}+2)\,y}.
Isto é uma equação com variáveis separáveis. Separamos v e y:
\frac{v^{2}+2}{v(v^{2}+1)}\,dv = -\frac{dy}{y}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados. Primeiro resolvemos a integral em v:
\int \frac{v^{2}+2}{v(v^{2}+1)}\,dv.
Fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{v^{2}+2}{v(v^{2}+1)}=\frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{v^{2}+1}.
Multiplicando por v(v^{2}+1) obtemos
v^{2}+2 = A(v^{2}+1)+(Bv+C)v = (A+B)v^{2}+Cv+A.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de v^{2}: A+B=1.
  • Coeficiente de v: C=0.
  • Constante: A=2.
    Portanto A=2, C=0, B=1-A=-1. Assim
\frac{v^{2}+2}{v(v^{2}+1)}=\frac{2}{v}-\frac{v}{v^{2}+1}.
Integramos:
\int\left(\frac{2}{v}-\frac{v}{v^{2}+1}\right)dv = 2\ln|v| - \frac{1}{2}\ln\big(v^{2}+1\big) + C.
À direita tínhamos -\int \dfrac{dy}{y} = -\ln|y| + C. Igualando:
2\ln|v| - \frac{1}{2}\ln\big(v^{2}+1\big) = -\ln|y| + C.

Passo 6

Manipulamos logaritmos para obter uma forma mais simples. Multiplicando tudo por 2:
4\ln|v| - \ln\big(v^{2}+1\big) = -2\ln|y| + C_{1}.
Reescrevendo como logaritmo único:
\ln\!\left(\frac{v^{4}}{v^{2}+1}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{y^{2}}\right) + C_{1},
ou seja, exponenciando e absorvendo a constante:
\frac{v^{4}}{v^{2}+1}\,y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária. Voltando à variável original x (lembre que v=\dfrac{x}{y}):
v^{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}},\qquad v^{4}=\frac{x^{4}}{y^{4}}.
Substituindo:
\frac{\dfrac{x^{4}}{y^{4}}}{\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+1}\,y^{2} = \frac{x^{4}/y^{4}}{(x^{2}+y^{2})/y^{2}}\,y^{2} = \frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}} = C.
Portanto a solução implícita geral é
\frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}}=C.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial x(1)=-1. Substituindo y=1, x=-1:
\frac{(-1)^{4}}{(-1)^{2}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=C.
Logo C=\dfrac{1}{2}. A solução implícita particular é
\frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2}.
Para obter x explicitamente em função de y colocamos s=x^{2}\ge 0. Então
\frac{s^{2}}{s+y^{2}}=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad 2s^{2}=s+y^{2}
que é uma equação quadrática em s:
2s^{2}-s-y^{2}=0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
s=\frac{1\pm\sqrt{1+8y^{2}}}{4}.
Como s=x^{2}\ge 0, a solução com o sinal menos pode dar s<0 (e, de fato, para y=1 o sinal menos dá valor negativo), então devemos escolher o sinal mais:
s=\frac{1+\sqrt{1+8y^{2}}}{4}.
Logo
x=\pm\sqrt{s}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{1+8y^{2}}}.
Finalmente usamos a condição inicial x(1)=-1 para fixar o sinal: em y=1 queremos x=-1, portanto escolhemos o sinal negativo. Assim a solução explícita da condição inicial é
x(y)=-\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{1+8y^{2}}}.

Resposta

\displaystyle x(y)=-\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{1+8y^{2}}}

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