Resolva o problema de valor inicial homogêneo dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição inicial escrita como
. Como a equação está na forma
(ou seja,
é função de
), transformamos a condição inicial para a forma equivalente para
: a condição
significa que quando
temos
, logo invertendo:
. Portanto a condição inicial apropriada para a solução
é
Resumo do que temos:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
A partir daqui vamos resolver paraem função de .
Passo 2
Colocamos a equação em forma explícita para
:
Observa-se que os termos do numerador e do denominador têm grau homogêneo (grau
) em
. Para equações homogêneas da forma
é comum usar a substituição
onde
é função de
. Vou explicar essa ideia:
representa a razão
. Se conseguirmos escrever a derivada em termos de
e
, podemos separar variáveis.
Passo 3
Calculamos
com
. Usando a regra do produto:
Agora substituímos
e
na equação original:
No lado direito simplificamos
:
Portanto obtemos a equação para
:
Passo 4
Isolamos o termo com
:
Logo
Isto é uma equação com variáveis separáveis. Separamos
e
:
Passo 5
Agora integramos ambos os lados. Primeiro resolvemos a integral em
:
Fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Portanto, , . Assim
Integramos:
À direita tínhamos
. Igualando:
Passo 6
Manipulamos logaritmos para obter uma forma mais simples. Multiplicando tudo por
:
Reescrevendo como logaritmo único:
ou seja, exponenciando e absorvendo a constante:
onde
é constante arbitrária. Voltando à variável original
(lembre que
):
Substituindo:
Portanto a solução implícita geral é
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
,
:
Logo
. A solução implícita particular é
Para obter
explicitamente em função de
colocamos
. Então
que é uma equação quadrática em
:
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Como
, a solução com o sinal menos pode dar
(e, de fato, para
o sinal menos dá valor negativo), então devemos escolher o sinal mais:
Logo
Finalmente usamos a condição inicial
para fixar o sinal: em
queremos
, portanto escolhemos o sinal negativo. Assim a solução explícita da condição inicial é