Resolva o problema de valor inicial da forma dada em (5).
\frac{d y}{d x}=\cos (x+y), \quad y(0)=\pi / 4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx}=\cos(x+y),\qquad y(0)=\frac{\pi}{4}.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes: a derivada de y em função de x é dada em termos de x+y; a condição inicial fornece o valor de y quando x=0.

Passo 2

Vamos transformar a equação usando a substituição
u=x+y.
Explico o porquê: o lado direito depende de x+y, então ao definir u igual a essa soma é provável que a equação fique mais simples (às vezes isso torna a equação separável). Agora calculamos a derivada de u em relação a x:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x+y)=1+\frac{dy}{dx}.
Como \frac{dy}{dx}=\cos(x+y)=\cos u, obtemos
\frac{du}{dx}=1+\cos u.

Passo 3

A equação para u ficou mais simples:
\frac{du}{dx}=1+\cos u.
Esta é separável: podemos escrever
\frac{du}{1+\cos u}=dx.
Agora vamos manipular a parte à esquerda usando uma identidade trigonométrica útil:
1+\cos u=2\cos^2\!\left(\frac{u}{2}\right).
Portanto
\frac{du}{1+\cos u}=\frac{du}{2\cos^2\!\left(\frac{u}{2}\right)}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou mostrar passo a passo a integração do lado esquerdo. Usando a substituição v=\dfrac{u}{2} (então du=2\,dv), temos
\frac{du}{2\cos^2\!\left(\frac{u}{2}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{du}{\cos^2\!\left(\frac{u}{2}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\int \operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right)\,du.
Com v=\dfrac{u}{2} e du=2\,dv isso vira
\frac{1}{2}\cdot\int \operatorname{sec}^2(v)\cdot 2\,dv=\int \operatorname{sec}^2(v)\,dv=\tan v + C=\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)+C.
Portanto a integral dá
\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)=x+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Agora isolamos u. Aplicando a função arco-tangente:
\frac{u}{2}=\arctan\!\bigl(x+C\bigr)
e, multiplicando por 2,
u=2\arctan\!\bigl(x+C\bigr).
Lembrando que u=x+y, voltamos para y:
y=u-x=2\arctan\!\bigl(x+C\bigr)-x.
Essa é a família de soluções gerais, com a constante C a ser determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=\dfrac{\pi}{4}. Substituindo x=0 em y(x):
\frac{\pi}{4}=y(0)=2\arctan\!\bigl(0+C\bigr)-0=2\arctan\text{(C)}.
Isso implica
\arctan\text{(C)}=\frac{\pi}{8}\quad\Rightarrow\quad C=\tan\!\left(\frac{\pi}{8}\right).
Uma identidade de ângulo metade mostra que \tan\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1, se quiser uma forma sem tangente, mas podemos deixar em termos de \tan também.

Passo 7

Substituindo C=\tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) em y(x)=2\arctan\!\bigl(x+C\bigr)-x, obtemos a solução específica que satisfaz a condição inicial:
y(x)=2\arctan\!\Bigl(x+\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)\Bigr)-x.
Se preferir usar a forma com raiz, uma forma equivalente é
y(x)=2\arctan\!\bigl(x+\sqrt{2}-1\bigr)-x.

Resposta

y(x)=2\arctan\!\bigl(x+\tan(\tfrac{\pi}{8})\bigr)-x

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