Resolva o problema de valor inicial da forma dada em (5).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes: a derivada de
em função de
é dada em termos de
; a condição inicial fornece o valor de
quando
.
Passo 2
Vamos transformar a equação usando a substituição
Explico o porquê: o lado direito depende de
, então ao definir
igual a essa soma é provável que a equação fique mais simples (às vezes isso torna a equação separável). Agora calculamos a derivada de
em relação a
:
Como
, obtemos
Passo 3
A equação para
ficou mais simples:
Esta é separável: podemos escrever
Agora vamos manipular a parte à esquerda usando uma identidade trigonométrica útil:
Portanto
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou mostrar passo a passo a integração do lado esquerdo. Usando a substituição
(então
), temos
Com
e
isso vira
Portanto a integral dá
onde
é constante de integração.
Passo 5
Agora isolamos
. Aplicando a função arco-tangente:
e, multiplicando por
,
Lembrando que
, voltamos para
:
Essa é a família de soluções gerais, com a constante
a ser determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Isso implica
Uma identidade de ângulo metade mostra que
, se quiser uma forma sem tangente, mas podemos deixar em termos de
também.
Passo 7
Substituindo
em
, obtemos a solução específica que satisfaz a condição inicial:
Se preferir usar a forma com raiz, uma forma equivalente é