Calcule lim x 1^+(x^3-1). sen (1x^3-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1^+(x^3-1),sin!l(tfrac1x^3-1r).
Esse é um problema de limites envolvendo o produto de um fator que tende a zero e uma função trigonométrica oscilante. Para resolver, vamos usar uma substituição simples e o Teorema do Confronto (ou do Sanduíche).

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
t = x^3 - 1
Quando x to 1^+, temos t to 0^+. Assim o limite original se transforma em
limxto1^+(x^3-1),sin!l(tfrac1x^3-1r) = limtto0^+ t,sin!l(tfrac1tr)

Passo 3

Sabemos que, para todo real u,
-1 <= sin(u) <= 1
Multiplicando essa desigualdade por t>0, obtemos
-t ;<=; t,sin!l(tfrac1tr);<=; t

Passo 4

Como
limtto0^+(-t)=0 e limtto0^+t=0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
limtto0^+t,sin!l(tfrac1tr)=0

Resposta

0

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