(a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume da caixa em relação ao comprimento se
e
permanecerem constantes.
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação instantânea do volume de uma caixa em relação ao comprimento quando a largura e a altura são constantes. O conteúdo envolvido aqui é derivada parcial de funções de várias variáveis.
Passo 2
Sabemos que o volume de uma caixa retangular é dado pela função
, onde
é o comprimento,
a largura e
a altura.
Passo 3
Como queremos a taxa de variação em relação a
mantendo
e
constantes, usamos a derivada parcial de
em relação a
.
Aplicando a definição de derivada parcial, derivamos em
tratando
e
como constantes. A derivada de
é 1, então observamos que ao derivar
sobra apenas o produto dos fatores constantes
e
, o que nos dá o resultado final.
Aplicando a definição de derivada parcial, derivamos