Encontre o foco e a diretriz da parábola
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
. Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos reescrever a equação na forma padrão para facilitar a identificação do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para completar o quadrado. A equação é
. Vamos fatorar o coeficiente de
para facilitar:
Passo 3
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado, obtendo
. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 4
Distribuímos o -2 e simplificamos os termos constantes:
Passo 5
Agora, a equação está na forma padrão da parábola
, onde:
-
é o vértice, -
determina a abertura e a largura.
Comparando, temos:
-
, -
, -
.
Passo 6
Para encontrar o foco e a diretriz, usamos a relação
, onde
é a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Como
é negativo, a parábola abre para baixo. Então:
- O foco fica
unidades abaixo do vértice. - A diretriz fica
unidades acima do vértice.
Passo 7
Calculamos as coordenadas do foco:
Vértice:
Foco:
Foco:
E a equação da diretriz:
Diretriz:
Resposta
A parábola
tem o foco em
e a diretriz dada pela equação
.