Encontre o foco e a diretriz da parábola y=-2 x^2-x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o foco e a diretriz da parábola dada pela equação . Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos reescrever a equação na forma padrão para facilitar a identificação do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para completar o quadrado. A equação é y = -2(x^2 + 12x) + 2 . Vamos fatorar o coeficiente de para facilitar:

Passo 3

Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos metade do coeficiente de y = -2(x^2 + 12x + 116 - 116) + 2 , que é y = -2((x + 14)^2 - 116) + 2 , e elevamos ao quadrado, obtendo . Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 4

Distribuímos o -2 e simplificamos os termos constantes:
y = -2(x + 14)^2 + 216 + 2
y = -2(x + 14)^2 + 18 + 2
y = -2(x + 14)^2 + 178

Passo 5

Agora, a equação está na forma padrão da parábola , onde:
  • é o vértice,
  • determina a abertura e a largura.
Comparando, temos:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 6

Para encontrar o foco e a diretriz, usamos a relação |-2| = 14p , onde 2 = 14p é a distância do vértice ao foco e à diretriz.
p = 18
Como é negativo, a parábola abre para baixo. Então:
  • O foco fica unidades abaixo do vértice.
  • A diretriz fica unidades acima do vértice.

Passo 7

Calculamos as coordenadas do foco:
Vértice:
Foco:
E a equação da diretriz:
Diretriz:

Resposta

A parábola tem o foco em e a diretriz dada pela equação .

Exercícios relacionados