Encontre a temperatura da barra no Problema 13 se a extremidade esquerda é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C}, a extremidade direita é isolada e a temperatura inicial é U_{0}= constante.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura da barra quando a extremidade esquerda é mantida a 0^\circ\text{C}, a extremidade direita é isolada e a temperatura inicial é U_0 (constante). Vou organizar claramente o que está dado e o que se quer:
  • Domínio espacial: a barra tem comprimento \,L>0 (estou chamando o comprimento de \,L porque o enunciado não informou valor numérico).
  • Variável espacial: x\in[0,L], com x=0 extremidade esquerda e x=L extremidade direita.
  • Variável temporal: t\ge0.
  • Condição de contorno esquerda (temperatura fixada): \,u(0,t)=0 para todo t\ge0.
  • Condição de contorno direita (isolada): \,u_x(L,t)=0 para todo t\ge0.
  • Condição inicial: \,u(x,0)=U_0 (constante) para 0\le x\le L.
  • Equação que governa o problema (equação do calor): vou assumir a forma padrão
u_t=\kappa\,u_{xx},
onde \kappa>0 é a difusividade térmica (constante do material). O enunciado não deu \kappa nem L, então a resposta será em termos de \kappa e L.
O objetivo final é encontrar u(x,t) para x\in[0,L], t\ge0.

Passo 2

Estratégia matemática que vamos usar (sem entrar ainda em contas): separação de variáveis + desenvolvimento por séries na base de autovetores do problema de Sturm–Liouville espacial. Agora começo a desenvolver passo a passo.
Primeiro escrevo a hipótese de separação: procuro soluções do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na equação \,u_t=\kappa u_{xx}
X(x)\,T'(t)=\kappa\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por \kappa X(x)T(t) (assumindo X e T não identicamente zero) obtemos
\frac{T'(t)}{\kappa T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação (sinal escolhido com menos para facilitar as soluções oscilatórias). Isso nos leva a duas ODEs:
T'(t)=-\kappa\lambda\,T(t), \qquad X''(x)+\lambda\,X(x)=0.

Passo 3

Análise dos possíveis sinais de \lambda e escolha apropriada:
  • Se \lambda<0 então X cresce exponencialmente e não satisfaria as condições de contorno não-triviais com os sinais que temos.
  • Se \lambda=0 então X''=0 leva a X(x)=Ax+B. Aplicando X(0)=0 B=0. A condição X'(L)=A=0 implica A=0 e então X\equiv0 (solução trivial). Então \lambda=0 não gera modo útil.
  • Logo buscamos \lambda>0. Escrevo \lambda=\beta^2 com \beta>0. A equação espacial é então
X''+\beta^2 X=0,
com solução geral
X(x)=A\sin(\beta x)+B\cos(\beta x).
Impondo a condição em x=0: u(0,t)=0\Rightarrow X(0)=0 B=0. Portanto X(x)=A\sin(\beta x). A condição isolada em x=L é X'(L)=0. Calculo
X'(x)=A\beta\cos(\beta x),
logo a condição X'(L)=0 implica \cos(\beta L)=0. As soluções estão em
\beta L=\frac{(2n+1)\pi}{2},\qquad n=0,1,2,\dots
Portanto os autovalores espaciais são
\lambda_n=\beta_n^2=\left(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\right)^2,
e os autovetores (autofunções) correspondentes, normalizados em forma simples, são
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right),\qquad n=0,1,2,\dots

Passo 4

Resolver a equação temporal para cada modo. A equação temporal associada é
T_n'(t)=-\kappa\lambda_n T_n(t).
A solução é exponencial decrescente:
T_n(t)=e^{-\kappa\lambda_n t}= \exp\!\left(-\kappa\left(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\right)^2 t\right).
Assim cada modo separado tem forma
u_n(x,t)=B_n\,\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)\exp\!\left(-\kappa\left(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\right)^2 t\right),
onde B_n é o coeficiente do modo.

Passo 5

Superposição linear: como o problema é linear, a solução geral (satisfeitas as condições homogêneas de contorno) é soma dos modos:
u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty B_n\,\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)\exp\!\left(-\kappa\left(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\right)^2 t\right).
Agora impomos a condição inicial \,u(x,0)=U_0. Isso dá a expansão em série de senos ímpares:
U_0=\sum_{n=0}^\infty B_n\,\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right),\qquad 0\le x\le L.

Passo 6

Cálculo explícito dos coeficientes B_n usando ortogonalidade das senos. A propriedade essencial é
\int_0^L \sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2L}\right)\,dx=\frac{L}{2}\,\delta_{nm},
onde \delta_{nm} é o delta de Kronecker ( \delta_{nm}=1 se n=m, e 0 caso contrário). Então multiplicando a expansão pelo modo \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2L}\right) e integrando em x de 0 a L, obtemos
\int_0^L U_0 \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2L}\right)\,dx = B_m\frac{L}{2}.
Portanto
B_m=\frac{2}{L}\int_0^L U_0 \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2L}\right)\,dx.
Como U_0 é constante, faço a integral explicitamente. Definindo \alpha_m=\dfrac{(2m+1)\pi}{2L} para simplificar:
\int_0^L \sin(\alpha_m x)\,dx=\left[-\frac{1}{\alpha_m}\cos(\alpha_m x)\right]_0^L=\frac{1}{\alpha_m}\bigl(1-\cos(\alpha_m L)\bigr).
Mas \alpha_m L=\dfrac{(2m+1)\pi}{2} e \cos\!\bigl(\dfrac{(2m+1)\pi}{2}\bigr)=0. Logo a integral vale \dfrac{1}{\alpha_m}. Substituindo,
B_m=\frac{2U_0}{L}\cdot\frac{1}{\alpha_m}=\frac{2U_0}{L}\cdot\frac{2L}{(2m+1)\pi}=\frac{4U_0}{(2m+1)\pi}.

Passo 7

Reescrevendo a solução com os coeficientes encontrados, obtemos a solução completa do problema:
u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{4U_0}{(2n+1)\pi}\,\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)\exp\!\left(-\kappa\left(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\right)^2 t\right).
Algumas observações didáticas e úteis para a prova:
  • Cada termo é um modo que respeita as condições de contorno (zero em x=0 e derivada zero em x=L).
  • A série representa a expansão da função constante U_0 na base ortogonal \{\sin(\frac{(2n+1)\pi x}{2L})\}.
  • O fator exponencial faz com que cada modo decaia com o tempo; quanto maior n mais rápido o decaimento (modos de alta frequência morrem mais rápido).
  • O estado estacionário (limite quando t\to\infty) é u\equiv0, isto é, a barra resfria até 0^\circ\text{C}. Isso pode ser visto porque todos os termos têm fatores exponenciais que tendem a zero.
  • Para uma aproximação rápida em prova, pode-se tomar só o primeiro termo n=0 (modo fundamental) para estimar u(x,t) quando t não é muito pequeno.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{4U_0}{(2n+1)\pi}\,\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)\exp\!\left(-\kappa\left(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\right)^2 t\right).

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