Encontre a temperatura da barra no Problema 13 se a extremidade esquerda é mantida a
, a extremidade direita é isolada e a temperatura inicial é
constante.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura da barra quando a extremidade esquerda é mantida a
, a extremidade direita é isolada e a temperatura inicial é
(constante). Vou organizar claramente o que está dado e o que se quer:
- Domínio espacial: a barra tem comprimento
(estou chamando o comprimento de porque o enunciado não informou valor numérico). - Variável espacial:
, com extremidade esquerda e extremidade direita. - Variável temporal:
. - Condição de contorno esquerda (temperatura fixada):
para todo . - Condição de contorno direita (isolada):
para todo . - Condição inicial:
(constante) para . - Equação que governa o problema (equação do calor): vou assumir a forma padrão
onde
é a difusividade térmica (constante do material). O enunciado não deu
nem
, então a resposta será em termos de
e
.
O objetivo final é encontrar
para
,
.
Passo 2
Estratégia matemática que vamos usar (sem entrar ainda em contas): separação de variáveis + desenvolvimento por séries na base de autovetores do problema de Sturm–Liouville espacial. Agora começo a desenvolver passo a passo.
Primeiro escrevo a hipótese de separação: procuro soluções do tipo
Substituindo na equação
dá
Dividindo por
(assumindo
e
não identicamente zero) obtemos
onde
é constante de separação (sinal escolhido com menos para facilitar as soluções oscilatórias). Isso nos leva a duas ODEs:
Passo 3
Análise dos possíveis sinais de
e escolha apropriada:
- Se
então cresce exponencialmente e não satisfaria as condições de contorno não-triviais com os sinais que temos. - Se
então leva a . Aplicando dá . A condição implica e então (solução trivial). Então não gera modo útil. - Logo buscamos
. Escrevo com . A equação espacial é então
com solução geral
Impondo a condição em
:
dá
. Portanto
. A condição isolada em
é
. Calculo
logo a condição
implica
. As soluções estão em
Portanto os autovalores espaciais são
e os autovetores (autofunções) correspondentes, normalizados em forma simples, são
Passo 4
Resolver a equação temporal para cada modo. A equação temporal associada é
A solução é exponencial decrescente:
Assim cada modo separado tem forma
onde
é o coeficiente do modo.
Passo 5
Superposição linear: como o problema é linear, a solução geral (satisfeitas as condições homogêneas de contorno) é soma dos modos:
Agora impomos a condição inicial
. Isso dá a expansão em série de senos ímpares:
Passo 6
Cálculo explícito dos coeficientes
usando ortogonalidade das senos. A propriedade essencial é
onde
é o delta de Kronecker (
se
, e
caso contrário). Então multiplicando a expansão pelo modo
e integrando em
de
a
, obtemos
Portanto
Como
é constante, faço a integral explicitamente. Definindo
para simplificar:
Mas
e
. Logo a integral vale
. Substituindo,
Passo 7
Reescrevendo a solução com os coeficientes encontrados, obtemos a solução completa do problema:
Algumas observações didáticas e úteis para a prova:
- Cada termo é um modo que respeita as condições de contorno (zero em
e derivada zero em ). - A série representa a expansão da função constante
na base ortogonal . - O fator exponencial faz com que cada modo decaia com o tempo; quanto maior
mais rápido o decaimento (modos de alta frequência morrem mais rápido). - O estado estacionário (limite quando
) é , isto é, a barra resfria até . Isso pode ser visto porque todos os termos têm fatores exponenciais que tendem a zero. - Para uma aproximação rápida em prova, pode-se tomar só o primeiro termo
(modo fundamental) para estimar quando não é muito pequeno.