Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra de uma distribuição Exponencial( \theta ) com densidade f(x)=\frac{1}{\theta} e^{-x / \theta}, onde \theta>0. Sabe-se que \hat{\theta}_{M V}=\bar{X}.
Deseja-se estimar a probabilidade de um componente durar mais que 5 minutos, ou seja, P(X>5)=e^{-5 / \theta}. Utilizando o Princípio da Invariância, encontre o EMV dessa probabilidade. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: uma amostra X_{1},\ldots,X_{n} de uma distribuição Exponencial com parâmetro \theta>0 e densidade
f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\quad x\ge0.
  • Informação adicional fornecida: o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para \theta é \hat{\theta}_{MV}=\bar{X}.
  • Quantidade a estimar: a probabilidade de um componente durar mais que 5 minutos,
P(X>5)=e^{-5/\theta}.
O que se pede: usar o Princípio da Invariância para encontrar o EMV dessa probabilidade P(X>5).

Passo 2

Vou relembrar (passo a passo) como se obtém \hat{\theta}_{MV}=\bar{X} a partir da verossimilhança — isso ajuda a entender por que o Princípio da Invariância funciona.
  • Escrevendo a função verossimilhança para a amostra:
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\theta}e^{-X_i/\theta}=\theta^{-n}e^{-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^{n}X_i}.
  • Tomando o log-verossimilhança (mais fácil de derivar):
\ell(\theta)=\ln L(\theta)=-n\ln\theta-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^{n}X_i.
  • Derivando em relação a \theta e igualando a zero para achar o máximo:
\frac{d\ell}{d\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i=1}^{n}X_i=0.
  • Multiplicando por \theta^{2} e resolvendo:
-n\theta+\sum_{i=1}^{n}X_i=0 \quad\Rightarrow\quad \hat{\theta}_{MV}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=\bar{X}.
  • Verificação rápida do máximo: segunda derivada
\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}}=\frac{n}{\theta^{2}}-\frac{2}{\theta^{3}}\sum_{i=1}^{n}X_i,
avaliada em \theta=\bar{X} é negativa (padrão para esse modelo), confirmando que é um máximo local (e global neste caso).

Passo 3

Agora explico o Princípio da Invariância de forma didática e intuitiva (sem pular etapas).
  • O que o princípio diz (em linguagem simples): se \hat{\theta} é o EMV de \theta, então, para qualquer função g, o EMV de g(\theta) é simplesmente g(\hat{\theta}), desde que não haja complicações como g não ser apropriada (por exemplo, não unívoca). Em outras palavras, primeiro encontra-se o EMV do parâmetro e depois aplica-se a função.
  • Por que isso faz sentido (intuição): o EMV \hat{\theta} é o valor de \theta que torna a amostra mais provável. Se queremos o valor mais plausível de g(\theta), devemos pegar o valor de g correspondente ao \theta que torna a amostra mais provável — isto é g(\hat{\theta}).
  • Condição aqui verificada: para a nossa função g(\theta)=e^{-5/\theta} com \theta>0, g é estritamente crescente em \theta (pois
\frac{d}{d\theta}e^{-5/\theta}=e^{-5/\theta}\cdot\frac{5}{\theta^{2}}>0
para \theta>0), logo é unívoca e o princípio aplica-se de forma direta e sem ambiguidades.

Passo 4

Aplicando o Princípio da Invariância ao problema concreto:
  • A função que queremos estimar é g(\theta)=P(X>5)=e^{-5/\theta}.
  • Como o EMV de \theta é \hat{\theta}_{MV}=\bar{X}, o EMV de g(\theta) é
\hat{g}_{MV}=g(\hat{\theta}_{MV})=e^{-5/\hat{\theta}_{MV}}.
  • Substituindo \hat{\theta}_{MV}=\bar{X} obtemos o estimador final em termos da amostra:
\hat{p}_{MV}=e^{-5/\bar{X}}.

Passo 5

Comentário prático e motivador (curto):
  • Interpretação: este estimador usa apenas a média amostral \bar{X}. Se a média observada for grande, 5/\bar{X} fica pequeno e \hat{p}_{MV} fica perto de 1; se a média for pequena, \hat{p}_{MV} diminui.
  • Exemplo numérico rápido (apenas para fixar): se \bar{X}=10 minutos então \hat{p}_{MV}=e^{-5/10}=e^{-1/2}\approx0,607. (Não é necessário para responder, só ilustração.)

Resposta

\hat{p}_{MV}=e^{-5/\bar{X}}

Exercícios relacionados