Seja
uma amostra de uma distribuição Exponencial(
) com densidade
, onde
. Sabe-se que
.
Deseja-se estimar a probabilidade de um componente durar mais que 5 minutos, ou seja,
. Utilizando o Princípio da Invariância, encontre o EMV dessa probabilidade. (1,0 ponto)
Deseja-se estimar a probabilidade de um componente durar mais que 5 minutos, ou seja,
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados: uma amostra
de uma distribuição Exponencial com parâmetro e densidade
- Informação adicional fornecida: o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para
é . - Quantidade a estimar: a probabilidade de um componente durar mais que 5 minutos,
O que se pede: usar o Princípio da Invariância para encontrar o EMV dessa probabilidade
.
Passo 2
Vou relembrar (passo a passo) como se obtém
a partir da verossimilhança — isso ajuda a entender por que o Princípio da Invariância funciona.
- Escrevendo a função verossimilhança para a amostra:
- Tomando o log-verossimilhança (mais fácil de derivar):
- Derivando em relação a
e igualando a zero para achar o máximo:
- Multiplicando por
e resolvendo:
- Verificação rápida do máximo: segunda derivada
avaliada em
é negativa (padrão para esse modelo), confirmando que é um máximo local (e global neste caso).
Passo 3
Agora explico o Princípio da Invariância de forma didática e intuitiva (sem pular etapas).
- O que o princípio diz (em linguagem simples): se
é o EMV de , então, para qualquer função , o EMV de é simplesmente , desde que não haja complicações como não ser apropriada (por exemplo, não unívoca). Em outras palavras, primeiro encontra-se o EMV do parâmetro e depois aplica-se a função. - Por que isso faz sentido (intuição): o EMV
é o valor de que torna a amostra mais provável. Se queremos o valor mais plausível de , devemos pegar o valor de correspondente ao que torna a amostra mais provável — isto é . - Condição aqui verificada: para a nossa função
com , é estritamente crescente em (pois
para
), logo é unívoca e o princípio aplica-se de forma direta e sem ambiguidades.
Passo 4
Aplicando o Princípio da Invariância ao problema concreto:
- A função que queremos estimar é
. - Como o EMV de
é , o EMV de é
- Substituindo
obtemos o estimador final em termos da amostra:
Passo 5
Comentário prático e motivador (curto):
- Interpretação: este estimador usa apenas a média amostral
. Se a média observada for grande, fica pequeno e fica perto de ; se a média for pequena, diminui. - Exemplo numérico rápido (apenas para fixar): se
minutos então . (Não é necessário para responder, só ilustração.)