O pedido é: “Encontre a temperatura do Problema 13” — isto é, encontrar u(x,t), a solução do problema de evolução térmica (equação do calor) no segmento [0,\pi] com constante de difusão c^2=1 e condição inicial u(x,0)=f(x).
Informações assumidas (padrão para este tipo de enunciado):
Equação do calor homogênea unidimensional:
u_t = c^2 u_{xx} = u_{xx},\qquad 0<x<\pi,\\ t>0.
Condições de contorno homogêneas de Dirichlet (padrão para “barra com extremidades mantidas a zero”):
u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0,\qquad t>0.
Condição inicial:
u(x,0)=f(x),\qquad 0\le x\le\pi.
Passo 2
Ideia do método (separação de variáveis + série de Fourier seno):
Para o problema do calor com contorno 0 nas extremidades, expandimos a solução em seno-árvores (autofunções da forma \sin(nx)).
onde e^{-n^2 t} aparece porque c=1 e os autovalores são \lambda_n=n^2.
Os coeficientes b_n vêm da série de Fourier seno da condição inicial:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Breve explicação do porquê: separar u(x,t)=X(x)T(t) leva a X''+\lambda X=0 com X(0)=X(\pi)=0, dando \lambda_n=n^2 e X_n(x)=\sin(nx). O modo temporal associado satisfaz T'_n=-n^2 T_n, com solução T_n(t)=e^{-n^2 t}. A expansão da condição inicial em senos determina os b_n.
Passo 3
Preparar a integral para b_n\) usando a forma explícita de \(f(x)\):
- Observe que a função triangular se escreve de maneira simples por partes:
\[f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\[4pt] \pi-x, & \tfrac{\pi}{2}\le x\le\pi. \end{cases}
(Verifique: em x=0\] e \(x=\pi vale 0; em x=\tfrac{\pi}{2} vale \tfrac{\pi}{2}.)
Essa série converge rapidamente para t>0 e, em t\to 0^+, converge para a função inicial f(x) nos pontos de continuidade (e a média dos lados em pontos de descontinuidade, mas aqui f é contínua).