Encontre a temperatura do Problema 13 com L=\pi, c=1 e
f(x)=\frac{1}{2} \pi-\left|x-\frac{1}{2} \pi\right|

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (resumindo claramente):
  • Foi dado L=\pi, c=1 e a condição inicial
f(x)=\tfrac{1}{2}\pi-\left|x-\tfrac{1}{2}\pi\right|,\qquad 0\le x\le\pi.
  • O pedido é: “Encontre a temperatura do Problema 13” — isto é, encontrar u(x,t), a solução do problema de evolução térmica (equação do calor) no segmento [0,\pi] com constante de difusão c^2=1 e condição inicial u(x,0)=f(x).
Informações assumidas (padrão para este tipo de enunciado):
  • Equação do calor homogênea unidimensional:
u_t = c^2 u_{xx} = u_{xx},\qquad 0<x<\pi,\\ t>0.
  • Condições de contorno homogêneas de Dirichlet (padrão para “barra com extremidades mantidas a zero”):
u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0,\qquad t>0.
  • Condição inicial:
u(x,0)=f(x),\qquad 0\le x\le\pi.

Passo 2

Ideia do método (separação de variáveis + série de Fourier seno):
  • Para o problema do calor com contorno 0 nas extremidades, expandimos a solução em seno-árvores (autofunções da forma \sin(nx)).
  • A forma geral da solução é uma soma de modos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-n^2 t}\sin(nx),
onde e^{-n^2 t} aparece porque c=1 e os autovalores são \lambda_n=n^2.
  • Os coeficientes b_n vêm da série de Fourier seno da condição inicial:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Breve explicação do porquê: separar u(x,t)=X(x)T(t) leva a X''+\lambda X=0 com X(0)=X(\pi)=0, dando \lambda_n=n^2 e X_n(x)=\sin(nx). O modo temporal associado satisfaz T'_n=-n^2 T_n, com solução T_n(t)=e^{-n^2 t}. A expansão da condição inicial em senos determina os b_n.

Passo 3

Preparar a integral para b_n\) usando a forma explícita de \(f(x)\): - Observe que a função triangular se escreve de maneira simples por partes: \[f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\[4pt] \pi-x, & \tfrac{\pi}{2}\le x\le\pi. \end{cases}
(Verifique: em x=0\] e \(x=\pi vale 0; em x=\tfrac{\pi}{2} vale \tfrac{\pi}{2}.)
  • Portanto
b_n=\frac{2}{\pi}\Bigg(\int_{0}^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx\Bigg).]

Passo 4

Usar simetria para simplificar as integrais (economiza trabalho):
  • Faça a mudança u=\pi-x na segunda integral. A segunda integral vira
\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx=\int_{0}^{\pi/2} u\sin(n(\pi-u))\,du.
  • Usar \sin(n(\pi-u))=\sin(n\pi-nu)= -\cos(n\pi)\sin(nu)=(-1)^{n+1}\sin(nu).
  • Logo, chamando
I_1=\int_{0}^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx,
temos
\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx = (-1)^{n+1} I_1.
  • Assim a integral total é
\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = I_1+(-1)^{n+1}I_1 =\bigl(1+(-1)^{n+1}\bigr)I_1.
  • Conclusão útil: se n for par, 1+(-1)^{n+1}=0 e o coeficiente b_n é zero; só os índices ímpares contribuem.

Passo 5

Calcular I_1=\int_{0}^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx por partes, passo a passo:
  • Integração por partes: tome u=x e dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}.
  • Assim
I_1 = \left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi/2} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx.
  • Avaliando o primeiro termo:
\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi/2} = -\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\cos(n\pi/2)}{n} - 0 = -\frac{\pi\cos(n\pi/2)}{2n}.
  • A integral restante:
\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx = \frac{1}{n}\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}.
  • Portanto
I_1 = -\frac{\pi\cos(n\pi/2)}{2n} + \frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}.

Passo 6

Combinar resultados e obter b_n explícito:
  • Lembrando que
\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = \bigl(1+(-1)^{n+1}\bigr)I_1,
temos
b_n=\frac{2}{\pi}\bigl(1+(-1)^{n+1}\bigr)\!\left(-\frac{\pi\cos(n\pi/2)}{2n}+\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}\right).
  • Para n par: 1+(-1)^{n+1}=0 b_n=0.
  • Para n ímpar: n=2m-1, têm-se \cos(n\pi/2)=0 (pois \cos\bigl((2m-1)\pi/2\bigr)=0), então a primeira parcela some e resta
b_n=\frac{2}{\pi}\cdot 2\cdot\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}=\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}.
  • Para n=2m-1 (ímpares), \sin(n\pi/2)=\sin\bigl((2m-1)\pi/2\bigr)=(-1)^{m-1}. Assim, escrevendo só em termos dos ímpares:
b_{2m-1}=\frac{4}{\pi(2m-1)^2}(-1)^{m-1}.

Passo 7

Escrever a solução final u(x,t) como série (somente modos ímpares):
  • Substituindo os b_n na soma de modos,
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-n^2 t}\sin(nx)
torna-se (somente ímpares n=2m-1 contribuem):
u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(2m-1)^2}(-1)^{m-1}e^{-(2m-1)^2 t}\sin\bigl((2m-1)x\bigr).
  • Essa série converge rapidamente para t>0 e, em t\to 0^+, converge para a função inicial f(x) nos pontos de continuidade (e a média dos lados em pontos de descontinuidade, mas aqui f é contínua).

Resposta

u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(2m-1)^2}(-1)^{m-1}e^{-(2m-1)^2 t}\sin\bigl((2m-1)x\bigr).

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