Encontre o termo geral e o limite da sequência \{\sqrt{2}, \sqrt{2 \sqrt{2}}, \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}, \ldots\}.
6. Mostre que a sequência \left(a_{n}\right) dada por a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!} converge a zero (Utilize o Teorema do confronto). \checkmark

Passo 1

O enunciado tem duas tarefas separadas. Vou listar claramente o que cada uma pede e quais informações foram dadas.
  • Primeiro problema: temos a sequência cujos termos são
    \sqrt{2},\; \sqrt{2\sqrt{2}},\; \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},\ldots.
    Pergunta 1: encontrar o termo geral dessa sequência. Pergunta 2: encontrar o limite da sequência quando n\to\infty.
  • Segundo problema (item 6 do enunciado): a sequência \left(a_{n}\right) é dada por
a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!}.
A tarefa é mostrar que \left(a_{n}\right) converge para zero, usando o Teorema do confronto (squeeze theorem).
Não peço nada a você — já tenho tudo que preciso. Agora vamos resolver passo a passo, explicando a teoria necessária ao longo do caminho.

Passo 2

Começo pelo primeiro problema: estruturar a sequência de radicais de forma que eu possa manipular algebraicamente. Denoto por \(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots) a sequência dada, com
x_{1}=\sqrt{2},\qquad x_{2}=\sqrt{2\sqrt{2}},\qquad x_{3}=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},\ldots
Observação útil (fórmula de potências): para qualquer número positivo y, temos \sqrt{y}=y^{1/2}. Vou usar essa propriedade para escrever cada termo como potência de 2.

Passo 3

Transformo os primeiros termos em potências de 2 para enxergar o padrão:
  • x_{1}=\sqrt{2}=2^{1/2}.
  • x_{2}=\sqrt{2\sqrt{2}}=\sqrt{2\cdot 2^{1/2}}=\sqrt{2^{1+1/2}}=\left(2^{3/2}\right)^{1/2}=2^{3/4}.
  • x_{3}=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=\sqrt{2\cdot 2^{3/4}}=\sqrt{2^{1+3/4}}=\left(2^{7/4}\right)^{1/2}=2^{7/8}.
Repare nos expoentes: 1/2,\;3/4,\;7/8,\ldots. Vou formalizar esse padrão.

Passo 4

Observação sobre os expoentes: os expoentes obtidos são somas de potências de 1/2:
\begin{aligned} \text{expoente do }x_{1}&= \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2},\\\ \text{expoente do }x_{2}&= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4},\\\ \text{expoente do }x_{3}&= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8},\\\ &\\ \vdots \end{aligned}
Portanto, para o n-ésimo termo o expoente é a soma geométrica
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}}.
Agora preciso lembrar (e ensinar) como se soma essa série geométrica finita.

Passo 5

Lembrete (soma de uma progressão geométrica finita): se temos os termos r, r^{2},\ldots,r^{n} com razão r\neq 1, a soma é \sum_{k=1}^{n} r^{k} = r \frac{1-r^{n}}{1-r}. No nosso caso r=\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}} = \frac{\tfrac{1}{2}\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\tfrac{1}{2}}.
Faço a simplificação passo a passo: 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, então
s_{n} = \frac{\tfrac{1}{2}\left(1-2^{-n}\right)}{\tfrac{1}{2}} = 1-2^{-n}.

Passo 6

Com s_{n}=1-2^{-n} temos o termo geral da sequência como potência de 2:
x_{n}=2^{s_{n}}=2^{1-2^{-n}}.
Isso responde a parte do termo geral. Observação intuitiva: conforme n aumenta, 2^{-n} fica muito pequeno, então o expoente tende a 1 e x_{n} tende a 2^{1}=2. Vou formalizar o limite a seguir.

Passo 7

Cálculo rigoroso do limite do primeiro problema usando a forma fechada. Usando o termo geral:
x_{n}=2^{1-2^{-n}}.
Como 2^{-n}\to 0 quando n\to\infty, o expoente 1-2^{-n}\to 1. A função f(t)=2^{t} é contínua, logo
\lim_{n\to\infty} x_{n} = \lim_{n\to\infty} 2^{1-2^{-n}} = 2^{\lim_{n\to\infty} (1-2^{-n})} = 2^{1}=2.
Dica alternativa (método para prova em prova sem fechar forma): também é possível mostrar que \(x_{n}) é crescente e limitada superiormente por 2, logo converge, e o limite L satisfaz L=\sqrt{2L} (resolvendo L^{2}-2L=0 obtemos L=0 ou L=2; como termos são positivos e não nulos, L=2). Mas como já temos a forma fechada, o limite fica direto como acima.

Passo 8

Agora o segundo problema: mostrar que
a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!}\longrightarrow 0\quad\text{quando }n\to\infty,
utilizando o Teorema do confronto. A ideia será comparar \left|a_{n}\right| com uma sequência não negativa que tende a zero.
Primeiro observo o módulo:
\left|a_{n}\right|=\frac{3^{n}}{n!}.
Se eu conseguir provar que \frac{3^{n}}{n!}\to 0, então por desigualdades -\frac{3^{n}}{n!}\le a_{n}\le \frac{3^{n}}{n!} e pelo Teorema do confronto segue a_{n}\to 0.

Passo 9

Mostro que \frac{3^{n}}{n!}\to 0. Uma técnica simples e elegante: analisar a razão entre termos consecutivos
\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{3^{\,n+1}/(n+1)!}{3^{n}/n!}=\frac{3}{n+1},
onde b_{n}=\dfrac{3^{n}}{n!}. Note que, para todo n\ge 3,
\frac{3}{n+1}\le\frac{3}{4} <1.
Isto implica que para n\ge 3 a sequência \(b_{n}) é decrescente e cada passo multiplica por no máximo \tfrac{3}{4}. Assim, para n\ge 3,
b_{n}\le b_{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{\,n-3}.
Como b_{3}=\dfrac{3^{3}}{3!}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2} é uma constante fixa e \left(\tfrac{3}{4}\right)^{n-3}\to 0 quando n\to\infty, segue que b_{n}\to 0.
Explicando a ideia em palavras: o fator n! cresce muito mais rápido que 3^{n}; a desigualdade acima dá um teto geométrico que vai a zero, provando que \dfrac{3^{n}}{n!} tende a zero.

Passo 10

Aplicando o Teorema do confronto: temos para todo n
-\frac{3^{n}}{n!}\le \frac{(-3)^{n}}{n!}\le \frac{3^{n}}{n!}.
Como acabamos de provar que \dfrac{3^{n}}{n!}\to 0, pela regra do confronto (squeeze theorem) concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}=0.

Passo 11

Resumo final curto e encorajador: então fechamos os dois itens pedindo explicação — o termo geral e limite da sequência de radicais, e a prova por confronto da sequência com fatorial. Você conseguiu; respira fundo que deu certo!

Resposta

x_{n}=2^{1-2^{-n}},\quad \lim_{n\to\infty}x_{n}=2
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-3)^{n}}{n!}=0

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