Encontre o termo geral e o limite da sequência
.
6. Mostre que a sequência
dada por
converge a zero (Utilize o Teorema do confronto).
6. Mostre que a sequência
Passo 1
O enunciado tem duas tarefas separadas. Vou listar claramente o que cada uma pede e quais informações foram dadas.
-
Primeiro problema: temos a sequência cujos termos são
.
Pergunta 1: encontrar o termo geral dessa sequência. Pergunta 2: encontrar o limite da sequência quando. -
Segundo problema (item 6 do enunciado): a sequência
é dada por
A tarefa é mostrar que
converge para zero, usando o Teorema do confronto (squeeze theorem).
Não peço nada a você — já tenho tudo que preciso. Agora vamos resolver passo a passo, explicando a teoria necessária ao longo do caminho.
Passo 2
Começo pelo primeiro problema: estruturar a sequência de radicais de forma que eu possa manipular algebraicamente. Denoto por
) a sequência dada, com
Observação útil (fórmula de potências): para qualquer número positivo
, temos
. Vou usar essa propriedade para escrever cada termo como potência de
.
Passo 3
Transformo os primeiros termos em potências de
para enxergar o padrão:
Repare nos expoentes:
. Vou formalizar esse padrão.
Passo 4
Observação sobre os expoentes: os expoentes obtidos são somas de potências de
:
Portanto, para o
-ésimo termo o expoente é a soma geométrica
Agora preciso lembrar (e ensinar) como se soma essa série geométrica finita.
Passo 5
Lembrete (soma de uma progressão geométrica finita): se temos os termos
com razão
, a soma é
. No nosso caso
. Aplicando a fórmula:
Faço a simplificação passo a passo:
, então
Passo 6
Com
temos o termo geral da sequência como potência de
:
Isso responde a parte do termo geral. Observação intuitiva: conforme
aumenta,
fica muito pequeno, então o expoente tende a
e
tende a
. Vou formalizar o limite a seguir.
Passo 7
Cálculo rigoroso do limite do primeiro problema usando a forma fechada. Usando o termo geral:
Como
quando
, o expoente
. A função
é contínua, logo
Dica alternativa (método para prova em prova sem fechar forma): também é possível mostrar que
) é crescente e limitada superiormente por
, logo converge, e o limite
satisfaz
(resolvendo
obtemos
ou
; como termos são positivos e não nulos,
). Mas como já temos a forma fechada, o limite fica direto como acima.
Passo 8
Agora o segundo problema: mostrar que
utilizando o Teorema do confronto. A ideia será comparar
com uma sequência não negativa que tende a zero.
Primeiro observo o módulo:
Se eu conseguir provar que
, então por desigualdades
e pelo Teorema do confronto segue
.
Passo 9
Mostro que
. Uma técnica simples e elegante: analisar a razão entre termos consecutivos
onde
. Note que, para todo
,
Isto implica que para
a sequência
) é decrescente e cada passo multiplica por no máximo
. Assim, para
,
Como
é uma constante fixa e
quando
, segue que
.
Explicando a ideia em palavras: o fator
cresce muito mais rápido que
; a desigualdade acima dá um teto geométrico que vai a zero, provando que
tende a zero.
Passo 10
Aplicando o Teorema do confronto: temos para todo
Como acabamos de provar que
, pela regra do confronto (squeeze theorem) concluímos que
Passo 11
Resumo final curto e encorajador: então fechamos os dois itens pedindo explicação — o termo geral e limite da sequência de radicais, e a prova por confronto da sequência com fatorial. Você conseguiu; respira fundo que deu certo!