[1,5 pts] Calcule
onde
é o pedaço do plano
que está no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede o valor da integral de superfície
onde
é o pedaço desse plano que está no primeiro octante. Informações relevantes:
Passo 2
Escolho parametrizar a superfície como gráfico de
em função de
e
, isto é, escrever
e projetar
no plano
. Motivo: o plano pode ser escrito explicitamente como
e a fórmula para
fica simples. Não é preciso nenhum método mais avançado.
Passo 3
Escrevo a superfície como
. Calculo as derivadas parciais:
A fórmula para o elemento de área da superfície dada por
é
onde
é a área no plano
. Aqui
(Esse fator vem, geometricamente, do módulo do produto vetorial
da parametrização
.)
Passo 4
Substituo
na função a integrar para simplificar a integranda sobre a projeção:
Portanto a função a integrar sobre
(projeção de
no plano
) é
.
Passo 5
Determino a região de projeção
no plano
: como
e
, tem-se
É o triângulo com vértices
,
e
. Uma escolha prática de limites é
Passo 6
Escrevo a integral de superfície como integral dupla sobre
:
Ou seja,
Passo 7
Faço a integral interna em
. Como
não depende de
,
Multiplico os fatores e simplifico:
Passo 8
Agora integro em
:
Avalio em
:
Portanto o valor da integral é