[1,5 pts] Calcule \iint_{S} x-2 y+z d S onde S é o pedaço do plano x+2 y+z=2 que está no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado dá o plano \;x+2y+z=2\; e pede o valor da integral de superfície
\iint_{S} (x-2y+z)\,dS
onde S é o pedaço desse plano que está no primeiro octante. Informações relevantes:
\text{Plano: } x+2y+z=2.
\text{Pedaço }S\text{: pontos com }x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.ç
\text{Função a integrar: }f(x,y,z)=x-2y+z.çã

Passo 2

Escolho parametrizar a superfície como gráfico de z em função de x e y, isto é, escrever z=2-x-2y e projetar S no plano xy. Motivo: o plano pode ser escrito explicitamente como z=g(x,y) e a fórmula para dS fica simples. Não é preciso nenhum método mais avançado.

Passo 3

Escrevo a superfície como z=g(x,y)=2-x-2y. Calculo as derivadas parciais:
g_x=\frac{\partial z}{\partial x}=-1,\qquad g_y=\frac{\partial z}{\partial y}=-2.
A fórmula para o elemento de área da superfície dada por z=g(x,y) é
dS=\sqrt{1+(g_x)^2+(g_y)^2}\;dA,
onde dA é a área no plano xy. Aqui
\sqrt{1+(g_x)^2+(g_y)^2}=\sqrt{1+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
(Esse fator vem, geometricamente, do módulo do produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y da parametrização \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)).)

Passo 4

Substituo z na função a integrar para simplificar a integranda sobre a projeção:
x-2y+z = x-2y+(2-x-2y)=2-4y.
Portanto a função a integrar sobre D (projeção de S no plano xy) é 2-4y.

Passo 5

Determino a região de projeção D no plano xy: como z=2-x-2y\ge0 e x,y\ge0, tem-se
x+2y\le2,\qquad x\ge0,\;y\ge0.
É o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,1). Uma escolha prática de limites é
0\le y\le 1,\qquad 0\le x\le 2-2y.

Passo 6

Escrevo a integral de superfície como integral dupla sobre D:
\iint_{S} (x-2y+z)\,dS = \iint_{D} (2-4y)\,\sqrt{6}\;dA.
Ou seja,
\iint_{S} (x-2y+z)\,dS = \sqrt{6}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{2-2y} (2-4y)\;dx\,dy.

Passo 7

Faço a integral interna em x. Como 2-4y não depende de x,
\int_{x=0}^{2-2y} (2-4y)\;dx = (2-4y)(2-2y).
Multiplico os fatores e simplifico:
(2-4y)(2-2y)=4-4y-8y+8y^2=4-12y+8y^2.

Passo 8

Agora integro em y:
\sqrt{6}\int_{0}^{1} (4-12y+8y^2)\;dy = \sqrt{6}\left[4y-6y^2+\frac{8}{3}y^3\right]_{0}^{1}.
Avalio em y=1:
4-6+\frac{8}{3} = -2+\frac{8}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto o valor da integral é
\sqrt{6}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{6}

Exercícios relacionados