[1,5 \mathrm{pts}] Calcule \int_{C} x+2 y-z d s onde C é o segmento de reta ligando os pontos (-2,5,3) ao ponto ( 2,1,1 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x+2y-z\,ds
onde C é o segmento de reta que liga os pontos (-2,5,3) e (2,1,1).
Informações dadas:
P_0 = (-2,5,3),\qquad P_1=(2,1,1),
e a função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x+2y-z.
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral \displaystyle\int_{C} f(x,y,z)\,ds.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta de forma clássica por interpolação linear entre os pontos. Para t variando de 0 a 1 tomamos
\mathbf{r}(t)=P_0+t(P_1-P_0).
Aqui P_1-P_0 é o vetor deslocamento do ponto inicial ao final, e t indica a posição ao longo do segmento ( t=0 em P_0, t=1 em P_1 ).
Calculando componentes:
P_1-P_0=(2-(-2),\;1-5,\;1-3)=(4,-4,-2).
Portanto a parametrização em coordenadas é
\mathbf{r}(t)=(-2,5,3)+t(4,-4,-2)=(-2+4t,\;5-4t,\;3-2t),
com t\in[0,1]. Então
x(t)=-2+4t,\qquad y(t)=5-4t,\qquad z(t)=3-2t.

Passo 3

Para transformar \int_C f\,ds em uma integral em t usamos a fórmula
\int_C f(x,y,z)\,ds=\int_a^b f(\mathbf{r}(t))\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada da parametrização e \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é sua norma (velocidade). Vou explicar: \mathbf{r}'(t) dá a velocidade com que percorremos a curva; multiplicando f(\mathbf{r}(t)) por essa velocidade e integrando em t obtemos a integral ao longo do comprimento da curva.
Calculamos \mathbf{r}'(t) e sua norma:
\mathbf{r}'(t)=(4,-4,-2),
que é constante (porque segmento é linha reta). A norma é
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{4^2+(-4)^2+(-2)^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6.
Logo ds=\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt=6\,dt.

Passo 4

Agora avaliamos a função integranda ao longo da curva: substituímos x(t),y(t),z(t) em f(x,y,z)=x+2y-z.
Fazendo as substituições:
f(\mathbf{r}(t))=x(t)+2y(t)-z(t)=(-2+4t)+2(5-4t)-(3-2t).
Desenvolvendo passo a passo:
(-2+4t)+2(5-4t)-(3-2t)=(-2+4t)+(10-8t)-3+2t.
Agrupando termos constantes e termos em t:
constantes: -2+10-3=5,
coeficientes de t: 4t-8t+2t=-2t.
Portanto
f(\mathbf{r}(t))=5-2t.

Passo 5

Montamos a integral em t usando f(\mathbf{r}(t)) e \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=6:
\int_C f\,ds=\int_0^1 (5-2t)\cdot 6\,dt.
Simplificando:
\int_0^1 6(5-2t)\,dt=6\int_0^1 (5-2t)\,dt.
Calculamos a primitiva:
\int (5-2t)\,dt=5t - t^2 + C.
Avaliação de 0 a 1:
6\big[5t - t^2\big]_0^1 =6(5\cdot1 - 1^2 - 0)=6(5-1)=6\cdot 4=24.

Resposta

24

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