Encontre o termo geral a_{n} para as sequências abaixo sabendo-se que a_{0}=1 e que:
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}(1 / 3)^{k}

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) com a_{0}=1
e, para n\ge1,
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{k}.
O conteúdo aqui é soma de progressão geométrica finita. Para resolver, vamos usar a fórmula
\sum_{k=1}^{n}r^{k} = r\,\frac{1 - r^{n}}{1 - r}.

Passo 2

Identificamos que, na soma
\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{k},
a razão r é \tfrac{1}{3}. Aplicando a fórmula da soma de P.G., obtemos
a_{n} = \frac{1}{3}\,\frac{1 - \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}}{1 - \tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Agora simplificamos o denominador 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}:
a_{n} = \frac{1}{3}\,\frac{1 - (1/3)^{n}}{2/3} = \frac{1 - (1/3)^{n}}{2}.

Passo 4

Portanto, o termo geral fica
a_{n} = \frac{1 - \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}}{2} \quad\text{para \(n\ge1\),}
mantendo a_{0}=1.

Resposta

a_{0}=1
para n\ge1:
a_{n}=\frac{1-\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}}{2}.

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