Encontre o termo geral da sequência,
, determine se a sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
23.
23.
Passo 1
O enunciado dá a sequência com termos
e pede (a) o termo geral , começando em
, (b) verificar se
converge e, em caso afirmativo, (c) encontrar o limite.
e pede (a) o termo geral
Passo 2
Para descobrir o padrão observamos que nos numeradores aparecem os números ímpares
e nos denominadores os números pares
. Cada passo soma 2 ao termo anterior em cada numerador e denominador.
Passo 3
Uma forma sistemática de gerar os ímpares é
e dos pares é
. Logo o
-ésimo termo é
Passo 4
Para verificar a convergência, analisamos o comportamento de
quando
. Podemos reescrever
Como
quando
, temos
.
Passo 5
Portanto, a sequência
converge e seu limite é
Resposta
O termo geral é
a sequência converge e