Encontre o termo geral da sequência, operatorname{começando~} \operatorname{com} n=1̧, determine se a sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
23. \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência com termos \tfrac12,\;\tfrac34,\;\tfrac56,\;\tfrac78,\;\dots
e pede (a) o termo geral (a_n), começando em n=1, (b) verificar se (a_n) converge e, em caso afirmativo, (c) encontrar o limite.

Passo 2

Para descobrir o padrão observamos que nos numeradores aparecem os números ímpares 1,3,5,7,\dots e nos denominadores os números pares 2,4,6,8,\dots. Cada passo soma 2 ao termo anterior em cada numerador e denominador.

Passo 3

Uma forma sistemática de gerar os ímpares é 2n-1 e dos pares é 2n. Logo o n-ésimo termo é
a_n = \frac{2n-1}{2n}.

Passo 4

Para verificar a convergência, analisamos o comportamento de \tfrac{2n-1}{2n} quando n\to\infty. Podemos reescrever
a_n = \frac{2n-1}{2n} = 1 - \frac{1}{2n}.
Como \tfrac1{2n}\to 0 quando n\to\infty, temos a_n\to 1.

Passo 5

Portanto, a sequência \bigl(a_n\bigr) converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty} a_n = 1.

Resposta

O termo geral é
a_n = \frac{2n-1}{2n},
a sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_n = 1.

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