EXERCÍCIOS 9.1 D Recurso Gráfico
  1. Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral da sequência, começando \operatorname{com} n=1.
    (a) 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots
    (b) 1,-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}, \ldots
    (c) \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \ldots
    (d) \frac{1}{\sqrt{\pi}}, \frac{4}{\sqrt[3]{\pi}}, \frac{9}{\sqrt[4]{\pi}}, \frac{16}{\sqrt[5]{\pi}}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá quatro sequências e pede a fórmula do termo geral a_n, com n começando em 1. Vamos usar dois tipos de reconhecimento de padrão: sequência geométrica (quando há razão constante entre termos) e descrição direta de numerador e denominador (ou expoente) em função de n.

Passo 2

Para a parte (a), os termos são
1,\;\tfrac13,\;\tfrac1{9},\;\tfrac1{27},\ldots
Aqui vemos que cada termo é obtido multiplicando o anterior por \tfrac13. Ou seja, é uma sequência geométrica com primeiro termo a_1=1 e razão r=\tfrac13. A fórmula do termo geral de uma sequência geométrica é
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Substituindo,
a_n = 1\cdot\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n-1} = \Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n-1}.

Passo 3

Na parte (b), os termos são
1,\,-\tfrac13,\;\tfrac1{9},\,-\tfrac1{27},\ldots
Aqui a razão entre termos é -\tfrac13. Logo é também geométrica, com a_1=1 e r=-\tfrac13. Pelo mesmo modelo,
a_n = 1\cdot\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^{n-1} = \Bigl(-\tfrac13\Bigr)^{n-1}.

Passo 4

Na parte (c), observamos
\tfrac12,\;\tfrac34,\;\tfrac56,\;\tfrac78,\ldots
O numerador segue a sequência dos ímpares 1,3,5,7,\dots que é 2n-1, e o denominador segue os pares 2,4,6,8,\dots que é 2n. Então
a_n = \frac{2n-1}{2n}.

Passo 5

Na parte (d), temos
\tfrac{1}{\sqrt\pi},\;\tfrac{4}{\sqrt[3]\pi},\;\tfrac{9}{\sqrt[4]\pi},\;\tfrac{16}{\sqrt[5]\pi},\ldots
O numerador é 1^2,2^2,3^2,4^2,\dots, isto é, n^2. O denominador é \pi elevado a 1/2,1/3,1/4,1/5,\dots, ou seja, \pi^{1/(n+1)}. Logo
a_n = \frac{n^2}{\pi^{1/(n+1)}}.

Resposta

(a) a_n = \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n-1}
(b) a_n = \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{n-1}
(c) a_n = \dfrac{2n-1}{2n}
(d) a_n = \dfrac{n^2}{\pi^{1/(n+1)}}

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