1. Suponha que \left\{a_{n}\right\} seja uma sequência monótona tal que a_{n} \leq 2 com qualquer n. A sequência deve necessariamente convergir? Caso afirmativo, o que pode ser dito sobre o limite?

Passo 1

O enunciado diz que \{a_{n}\} é monótona e satisfaz
\forall n:\;a_{n}\le2.
Queremos saber se isso basta para garantir convergência e, em caso positivo, o que se pode dizer sobre o limite.

Passo 2

Recorde o Teorema da Convergência Monótona:
– Se \{a_{n}\} é crescente e limitada superiormente, então ela converge para
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\sup\{a_{n}\}.
– Se \{a_{n}\} é decrescente e limitada inferiormente, então ela converge para
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\inf\{a_{n}\}.

Passo 3

Aqui só sabemos que a_{n}\le2 para todo n, ou seja, temos uma limitação superior em 2.
– Se a sequência for crescente, essa limitação superior é suficiente para aplicar o teorema.
– Se for decrescente, não temos informação sobre limite inferior, logo não podemos assegurar convergência.

Passo 4

No caso crescente, a sequência converge e seu limite é o supremo dos termos. Como esse supremo não pode ultrapassar 2, concluímos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=L=\sup\{a_{n}\},\quad L\le2.

Passo 5

No caso decrescente, sem uma barreira inferior a partir do enunciado, a sequência pode divergir (por exemplo, a_{n}=-n é decrescente e sempre \le2, mas diverge para -\infty).

Resposta

A sequência converge necessariamente se for crescente, e nesse caso
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\sup\{a_{n}\}\le2.
Se for decrescente, não há garantia de convergência.

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