- Suponha que
seja uma sequência monótona tal que
com qualquer
. A sequência deve necessariamente convergir? Caso afirmativo, o que pode ser dito sobre o limite?
Passo 1
O enunciado diz que
é monótona e satisfaz
Queremos saber se isso basta para garantir convergência e, em caso positivo, o que se pode dizer sobre o limite.
Passo 2
Recorde o Teorema da Convergência Monótona:
– Se é crescente e limitada superiormente, então ela converge para
– Se
– Se
é decrescente e limitada inferiormente, então ela converge para
Passo 3
Aqui só sabemos que
para todo
, ou seja, temos uma limitação superior em 2.
– Se a sequência for crescente, essa limitação superior é suficiente para aplicar o teorema.
– Se for decrescente, não temos informação sobre limite inferior, logo não podemos assegurar convergência.
– Se a sequência for crescente, essa limitação superior é suficiente para aplicar o teorema.
– Se for decrescente, não temos informação sobre limite inferior, logo não podemos assegurar convergência.
Passo 4
No caso crescente, a sequência converge e seu limite é o supremo dos termos. Como esse supremo não pode ultrapassar 2, concluímos
Passo 5
No caso decrescente, sem uma barreira inferior a partir do enunciado, a sequência pode divergir (por exemplo,
é decrescente e sempre
, mas diverge para
).
Resposta
A sequência converge necessariamente se for crescente, e nesse caso
Se for decrescente, não há garantia de convergência.