Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y, z)=e^z(5 x^3-4 y^5), no ponto (1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
,f(x,y,z)=e^zl(5x^3-4y^5r),
e avaliá-las no ponto (1,2,3), indicando se em cada direção a função está crescendo ( >0), decrescendo ( <0) ou estacionada ( =0). Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para partial f/partial x mantemos y,z constantes. Como
tfracddx(5x^3-4y^5)=15x^2, segue que
partial fpartial x(x,y,z) =15x^2e^z

Passo 3

Avaliando em (1,2,3):
partial fpartial x(1,2,3) =15cdot1^2,e^3 =15e^3>0,
logo a função está crescendo na direção x.

Passo 4

Para partial f/partial y mantemos x,z constantes. Como
tfracddy(5x^3-4y^5)=-20y^4, obtemos
partial fpartial y(x,y,z) =-20y^4e^z

Passo 5

Avaliando em (1,2,3):
partial fpartial y(1,2,3) =-20cdot2^4,e^3 =-320e^3<0,
logo a função está decrescendo na direção y.

Passo 6

Para partial f/partial z mantemos x,y constantes. Derivando e^z e multiplicando por (5x^3-4y^5), vem
partial fpartial z(x,y,z) =(5x^3-4y^5),e^z

Passo 7

Avaliando em (1,2,3):
partial fpartial z(1,2,3) =(5cdot1^3-4cdot2^5),e^3 =(5-128),e^3 =-123e^3<0,
logo a função está decrescendo na direção z.

Resposta

partial fpartial x(1,2,3)=15e^3>0 (crescendo em x)
partial fpartial y(1,2,3)=-320e^3<0 (decrescendo em y)
partial fpartial z(1,2,3)=-123e^3<0 (decrescendo em z)

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