Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y, z)=sen(x y) cos (x z) tg(y z), no ponto (0, 13, pi).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=sin(xy),cos(xz),tan(yz)
e a avaliação em l(0,tfrac13,pir), além de dizer se em cada direção a função está crescendo (derivada >0), decrescendo ( <0) ou estacionada ( =0). Vamos usar regra do produto e cadeia.

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Como f=A(x,y),B(x,z),C(y,z), com A=sin(xy), B=cos(xz), C=tan(yz), temos
partial fpartial x =(A'x)B,C + A,(B'x)C + A,B,(C'x)
Aqui A'x=cos(xy),y, B'x=-sin(xz),z e C'x=0. Logo
partial fpartial x =(cos(xy),y),cos(xz),tan(yz) +sin(xy),(-sin(xz),z),tan(yz)

Passo 3

Calcular partial fpartial y. Agora A'y=cos(xy),x, B'y=0, C'y=sec^2(yz),z. Assim
partial fpartial y =(cos(xy),x),cos(xz),tan(yz) +sin(xy),cos(xz),(sec^2(yz),z)

Passo 4

Calcular partial fpartial z. Aqui A'z=0, B'z=-sin(xz),x, C'z=sec^2(yz),y. Então
partial fpartial z =sin(xy),(-sin(xz),x),tan(yz) +sin(xy),cos(xz),(sec^2(yz),y)

Passo 5

Avaliar partial fpartial x em l(0,tfrac13,pir).
Nesse ponto xy=0, xz=0, yz=pi/3. Logo cos(0)=1, sin(0)=0, tan(pi/3)=raiz3. No primeiro termo sobra
1cdot13cdot1cdotraiz3 =raiz33,
e o segundo termo é zero pois sin(0)=0. Portanto
partial fpartial xl(0,tfrac13,pir) =raiz33>0,
logo cresce na direção x.

Passo 6

Avaliar partial fpartial y e partial fpartial z em l(0,tfrac13,pir). Como x=0 faz cos(xy)=1 mas multiplica x no primeiro termo, e faz sin(xy)=0 no segundo termo de cada derivada, ambos os resultados são zero:
partial fpartial yl(0,tfrac13,pir)=0, partial fpartial zl(0,tfrac13,pir)=0
Assim, nas direções y e z o crescimento é estacionado.

Resposta

partial fpartial x(0,tfrac13,pi)=raiz33>0 (cresce em x);
partial fpartial y(0,tfrac13,pi)=0 (estacionado em y);
partial fpartial z(0,tfrac13,pi)=0 (estacionado em z).

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