Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada
), decrescendo (
) ou se está com crescimento estacionado (
).
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
e a avaliação em
, além de dizer se em cada direção a função está crescendo (derivada
), decrescendo (
) ou estacionada (
). Vamos usar regra do produto e cadeia.
Passo 2
Calcular
. Como
, com
,
,
, temos
Aqui
,
e
. Logo
Passo 3
Calcular
. Agora
,
,
. Assim
Passo 4
Calcular
. Aqui
,
,
. Então
Passo 5
Avaliar
em
.
Nesse ponto ,
,
. Logo
,
,
. No primeiro termo sobra
Nesse ponto
e o segundo termo é zero pois
. Portanto
logo cresce na direção
.
Passo 6
Avaliar
e
em
. Como
faz
mas multiplica
no primeiro termo, e faz
no segundo termo de cada derivada, ambos os resultados são zero:
Assim, nas direções
e
o crescimento é estacionado.