Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada ), decrescendo ( ) ou se está com crescimento estacionado ( ).
.)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=10^-2x+3y-4zx^2+y^3+z^4
no ponto (-4,-3,-2). Para isso vamos usar a regra do quociente
partialpartial xl(tfracghr) =gx,h - g,hxh^2
e a regra da cadeia para g(x,y,z)=10^u com u=-2x+3y-4z.

Passo 2

Defina
u=-2x+3y-4z, g=10^u, h=x^2+y^3+z^4
Então
gx = 10^uln(10),partial upartial x =10^uln(10),(-2) =-2ln(10),10^u,
hx = 2x
Aplicando regra do quociente:
partial fpartial x =(-2ln(10),10^u),h - 10^u,(2x)h^2 =10^ul[-2ln(10),h - 2xr]h^2

Passo 3

Analogamente,
gy = 10^uln(10),partial upartial y =3ln(10),10^u, hy = 3y^2,
gz = 10^uln(10),partial upartial z =-4ln(10),10^u, hz = 4z^3
Logo
partial fpartial y =10^ul[3ln(10),h - 3y^2r]h^2, partial fpartial z =10^ul[-4ln(10),h - 4z^3r]h^2

Passo 4

No ponto (-4,-3,-2) temos
u= -2(-4)+3(-3)-4(-2)=7, 10^u=10^7, h=(-4)^2+(-3)^3+(-2)^4=16-27+16=5, h^2=25
Substituindo:
partial fpartial x(-4,-3,-2) =10^7l[-2ln(10)cdot5 -2(-4)r]25 =10^7,(8-10ln(10))25,
partial fpartial y(-4,-3,-2) =10^7l[3ln(10)cdot5 -3cdot(-3)^2r]25 =10^7,(15ln(10)-27)25,
partial fpartial z(-4,-3,-2) =10^7l[-4ln(10)cdot5 -4(-2)^3r]25 =10^7,(32-20ln(10))25
Como ln(10)approx2,3026, nota-se
8-10ln(10)<0, 15ln(10)-27>0, 32-20ln(10)<0
Portanto, em (-4,-3,-2) a direção x é decrescente, y é crescente e z é decrescente.

Resposta

fx(-4,-3,-2)=10^7,(8-10ln(10))25<0 (decresce em x)
fy(-4,-3,-2)=10^7,(15ln(10)-27)25>0 (cresce em y)
fz(-4,-3,-2)=10^7,(32-20ln(10))25<0 (decresce em z)

Exercícios relacionados