Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
w=x-yx^2+y

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
w(x,y)=x-yx^2+y
O conteúdo é derivadas parciais e uso da regra do quociente. Para chegar às segundas derivadas, primeiro vamos achar wx e wy e depois derivar cada uma em relação a x e a y.

Passo 2

Definimos o numerador N=x-y e o denominador D=x^2+y.
Para wx aplicamos
wx=Nx,D - N,DxD^2,
onde Nx=1 e Dx=2x. Logo,
wx =1cdot(x^2+y)-(x-y)cdot2x(x^2+y)^2 =x^2+y-2x^2+2xy(x^2+y)^2 =-x^2+2xy+y(x^2+y)^2
Para wy temos
wy=Ny,D - N,DyD^2,
onde Ny=-1 e Dy=1. Assim,
wy =-1cdot(x^2+y)-(x-y)cdot1(x^2+y)^2 =-x^2-y -x +y(x^2+y)^2 =-x^2-x(x^2+y)^2

Passo 3

Agora derivamos wx em relação a x para obter wxx. Como
wx=AD^2, A=-x^2+2xy+y, D=x^2+y,
usamos
wxx =Ax,D^2-A,(2D,Dx)D^4, Ax=-2x+2y,;Dx=2x
Fazendo as contas e simplificando chega-se a
wxx =2l(x^3-3x^2y-3xy+y^2r)(x^2+y)^3

Passo 4

Para wxy derivamos wx em relação a y. Ainda com wx=A/D^2, temos
wxy =Ay,D^2-A,(2D,Dy)D^4, Ay=2x+1,;Dy=1
Após simplificar, obtém-se
wxy =2x^3+3x^2-2xy - y(x^2+y)^3

Passo 5

Finalmente, para wyy derivamos wy=B/D^2 em relação a y, com B=-x^2-x e By=0, Dy=1. Assim,
wyy =0cdot D^2-B,(2Dcdot1)D^4 =-2BD^3 =2(x^2+x)(x^2+y)^3 =2x(x+1)(x^2+y)^3

Resposta

wxx=2l(x^3-3x^2y-3xy+y^2r)(x^2+y)^3, wxy=wyx=2x^3+3x^2-2xy-y(x^2+y)^3, wyy=2x(x+1)(x^2+y)^3

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