Encontre a solução geral das edos( 1,0 ponto cada item!!):
y^(4)+y=0

Passo 1

Temos a EDO linear homogênea de ordem 4
y^(4) + y = 0
O conteúdo que vamos usar é o método do polinômio característico: assumimos uma solução da forma y=e^lambda x e obtemos uma equação algébrica para lambda.

Passo 2

Substituindo y=e^lambda x na EDO, cada derivada aporta um fator lambda, então o polinômio característico é
lambda^4 + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
lambda^4 = -1 = e^ipi + 2pi i n,
logo as raízes são
lambdak = e^il(pi4 + pi2kr), k=0,1,2,3
Em coordenadas retangulares isso dá
lambda0 = tfrac1raiz2 + itfrac1raiz2, lambda1 = -tfrac1raiz2 + itfrac1raiz2, lambda2 = -tfrac1raiz2 - itfrac1raiz2, lambda3 = tfrac1raiz2 - itfrac1raiz2

Passo 4

Agrupando em pares conjugados e usando a fórmula de Euler, obtemos a solução real geral como combinação linear de
e^alpha xcos(beta x) e e^alpha xsin(beta x)
Aqui temos alpha=pm tfrac1raiz2 e beta=tfrac1raiz2, logo
y(x)=e^x/raiz2l(C1cos(x/raiz2)+C2sin(x/raiz2)r) +e^-x/raiz2l(C3cos(x/raiz2)+C4sin(x/raiz2)r)

Resposta

y(x)=e^x/raiz2l(C1cos(x/raiz2)+C2sin(x/raiz2)r) +e^-x/raiz2l(C3cos(x/raiz2)+C4sin(x/raiz2)r)

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