Encontre todas as derivadas de segunda ordem da função dada.
f(x, y)=\cos \left(x^{2}+y^{2}-x y\right)

Passo 1

O enunciado pede que encontremos todas as derivadas de segunda ordem da função
f(x,y)=\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr).
As perguntas são: calcular
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y) é \cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr). Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vamos montar as ferramentas que precisamos e explicar cada uma com calma (tipo amigo explicando no café). Aqui os dois passos básicos são o efeito da regra da cadeia em funções compostas e a regra do produto para derivadas parciais.
Regra da cadeia (multivariável), explicada: se \;f(x,y)=g\bigl(u(x,y)\bigr)\;, então, para a derivada parcial em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x}=g'\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui g'(u) é a derivada da função externa g avaliada em u, e \partial u/\partial x é a derivada parcial da função interna u(x,y) em relação a x.
No nosso caso, a função externa é g(t)=\cos t, cuja derivada é g'(t)=-\sin t. A função interna é
u(x,y)=x^{2}+y^{2}-xy.
Agora calculamos as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x-y,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y-x.
(Isto vem de derivar termo a termo: \partial(x^{2})/\partial x=2x, \partial(y^{2})/\partial x=0, \partial(-xy)/\partial x=-y.)
Regra do produto (para derivada parcial em x): se h(x,y)=A(x,y)\,B(x,y), então
\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial A}{\partial x}\,B + A\,\frac{\partial B}{\partial x}.
Vamos usar isso porque, após aplicar a cadeia, as derivadas terão produtos (por exemplo -\sin(u) vezes algo).

Passo 3

Usando a regra da cadeia e as derivadas de u que já calculamos, obtemos as derivadas parciais primeiras.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = -\sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\cdot(2x-y).
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}=-\sin\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = -\sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\cdot(2y-x).
Essas duas expressões são a base para calcular as derivadas de segunda ordem.

Passo 4

Para obter as derivadas de segunda ordem vamos diferenciar as parciais acima novamente. Cada uma tem a forma de produto entre A(x,y)=-\sin\bigl(u(x,y)\bigr) e B(x,y) (que é linear em x,y, por exemplo 2x-y). Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia aplicada a A.
Também precisamos da derivada de A em relação a x ou y. Como A=-\sin(u), pela cadeia:
\frac{\partial A}{\partial x}=-\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=-\cos\bigl(u(x,y)\bigr)\,(2x-y),
\frac{\partial A}{\partial y}=-\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=-\cos\bigl(u(x,y)\bigr)\,(2y-x).

Passo 5

Agora calculamos \partial^{2}f/\partial x^{2}. Começamos de
\frac{\partial f}{\partial x}=A(x,y)\,B(x,y),
onde A(x,y)=-\sin(u) e B(x,y)=2x-y.
Aplicando a regra do produto em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial A}{\partial x}\,B + A\,\frac{\partial B}{\partial x}.
Substituindo \partial A/\partial x e \partial B/\partial x ( \partial B/\partial x=2):
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\bigl(-\cos(u)\,(2x-y)\bigr)\,(2x-y) + \bigl(-\sin(u)\bigr)\,2.
Simplificando o primeiro produto (2x-y)(2x-y)=(2x-y)^{2}, obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\,(2x-y)^{2} - 2\sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr).

Passo 6

Agora \partial^{2}f/\partial y^{2}. Por simetria (troca x\leftrightarrow y) ou calculando passo a passo igual ao caso anterior, partimos de
\frac{\partial f}{\partial y}=A(x,y)\,C(x,y),
onde A(x,y)=-\sin(u) e C(x,y)=2y-x. Aplicando produto em relação a y e usando \partial C/\partial y=2 e \partial A/\partial y=-\cos(u)(2y-x), obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=-\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\,(2y-x)^{2} - 2\sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr).

Passo 7

Agora a derivada mista \partial^{2}f/\partial x\partial y. Diferenciamos \partial f/\partial x em relação a y. Lembrando
\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin(u)\,(2x-y),
aplicamos a regra do produto em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\sin(u)\bigr)\,(2x-y)+\bigl(-\sin(u)\bigr)\,\frac{\partial}{\partial y}(2x-y).
Usando \partial(-\sin(u))/\partial y=-\cos(u)\,\partial u/\partial y=-\cos(u)\,(2y-x) e \partial(2x-y)/\partial y=-1, obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-\cos(u)\,(2y-x)\,(2x-y)+(-\sin(u))(-1).
Simplificando o último produto (- \sin(u))(-1)=\sin(u), temos
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=-\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\,(2y-x)(2x-y) + \sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr).

Passo 8

Podemos verificar (ou calcular diretamente) que \partial^{2}f/\partial y\partial x coincide com \partial^{2}f/\partial x\partial y — para funções suficientemente suaves (aqui f é C^\infty) a igualdade de derivadas mistas de segunda ordem vale (teorema de Clairaut). Se quisermos calcular \partial^{2}f/\partial x\partial y partindo de \partial f/\partial y e diferenciando em x, chegamos exatamente à mesma expressão
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\,(2x-y)(2y-x) + \sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr).

Resposta

\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\,(2x-y)^{2}-2\sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=-\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\,(2y-x)^{2}-2\sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-\cos\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)\,(2y-x)(2x-y)+\sin\bigl(x^{2}+y^{2}-xy\bigr)

Exercícios relacionados