Encontre todas as derivadas de segunda ordem da função dada.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos todas as derivadas de segunda ordem da função
As perguntas são: calcular
Informações dadas: a expressão explícita de
é
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Vamos montar as ferramentas que precisamos e explicar cada uma com calma (tipo amigo explicando no café). Aqui os dois passos básicos são o efeito da regra da cadeia em funções compostas e a regra do produto para derivadas parciais.
Regra da cadeia (multivariável), explicada: se
, então, para a derivada parcial em relação a
,
Aqui
é a derivada da função externa
avaliada em
, e
é a derivada parcial da função interna
em relação a
.
No nosso caso, a função externa é
, cuja derivada é
. A função interna é
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
(Isto vem de derivar termo a termo:
,
,
.)
Regra do produto (para derivada parcial em
): se
, então
Vamos usar isso porque, após aplicar a cadeia, as derivadas terão produtos (por exemplo
vezes algo).
Passo 3
Usando a regra da cadeia e as derivadas de
que já calculamos, obtemos as derivadas parciais primeiras.
Aplicando a cadeia:
Analogamente,
Essas duas expressões são a base para calcular as derivadas de segunda ordem.
Passo 4
Para obter as derivadas de segunda ordem vamos diferenciar as parciais acima novamente. Cada uma tem a forma de produto entre
e
(que é linear em
, por exemplo
). Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia aplicada a
.
Também precisamos da derivada de
em relação a
ou
. Como
, pela cadeia:
Passo 5
Agora calculamos
. Começamos de
onde
e
.
Aplicando a regra do produto em relação a
:
Substituindo
e
(
):
Simplificando o primeiro produto
, obtemos
Passo 6
Agora
. Por simetria (troca
) ou calculando passo a passo igual ao caso anterior, partimos de
onde
e
. Aplicando produto em relação a
e usando
e
, obtemos
Passo 7
Agora a derivada mista
. Diferenciamos
em relação a
. Lembrando
aplicamos a regra do produto em relação a
:
Usando
e
, obtemos
Simplificando o último produto
, temos
Passo 8
Podemos verificar (ou calcular diretamente) que
coincide com
— para funções suficientemente suaves (aqui
é
) a igualdade de derivadas mistas de segunda ordem vale (teorema de Clairaut). Se quisermos calcular
partindo de
e diferenciando em
, chegamos exatamente à mesma expressão