Encontre todas as derivadas de segunda ordem da função dada.
h(x, y, z)=x^{3}+2 y^{2}-7 z^{4}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre todas as derivadas de segunda ordem” da função
h(x,y,z)=x^{3}+2y^{2}-7z^{4}.
Informações dadas e o que vamos precisar:
  • A função é definida em três variáveis x,y,z.
  • Devemos encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, as derivadas \dfrac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2}h}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2}h}{\partial x\partial z}, \dfrac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}, \dfrac{\partial^{2}h}{\partial y\partial z}, \dfrac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}} — e também as correspondentes com a ordem dos diferenciais trocada (por exemplo, \dfrac{\partial^{2}h}{\partial y\partial x}), totalizando nove expressões a listar.
  • A função é um polinômio (soma de potências), logo é suave e todas as derivadas parciais necessárias existem e são contínuas.

Passo 2

Breve aula: o que é derivada parcial e como calcular aqui (regras que vamos usar).
  • Definição prática: para calcular a derivada parcial de h em relação a x, \dfrac{\partial h}{\partial x}, tratamos y e z como constantes e diferenciamos apenas em relação a x. Análogo para y e z.
  • Regra principal usada: a regra da potência. Para uma função monômia \,a\cdot u^{n}\, (onde a é constante e u é a variável de diferenciação), a derivada é
\frac{d}{du}\bigl(a\,u^{n}\bigr)=a\cdot n\,u^{n-1}.
  • Aplicação aqui: cada monômio de h depende de apenas uma variável, o que facilita muito — ao derivar em relação a uma variável, só o termo que depende dessa variável contribui; os outros termos viram constantes e têm derivada nula.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem, mostrando passo a passo.
  • Diferenciando em relação a x: o único termo que depende de x é x^{3}. Usando a regra da potência,
\frac{\partial h}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Os termos 2y^{2} e -7z^{4} são constantes quando derivamos em relação a x, então contribuem com \,0.
  • Diferenciando em relação a y: o único termo que depende de y é 2y^{2}. Usando a regra da potência,
\frac{\partial h}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{2}\bigr)=2\cdot 2y=4y.
Os outros termos não dependem de y, então dão \,0.
  • Diferenciando em relação a z: o único termo que depende de z é -7z^{4}. Aplicando a regra,
\frac{\partial h}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}\bigl(-7z^{4}\bigr)=-7\cdot 4z^{3}=-28z^{3}.
Resumo das primeiras derivadas:
\frac{\partial h}{\partial x}=3x^{2},\qquad \frac{\partial h}{\partial y}=4y,\qquad \frac{\partial h}{\partial z}=-28z^{3}.

Passo 4

O que são derivadas de segunda ordem e como vamos calculá‑las aqui.
  • Definição: as derivadas parciais de segunda ordem são obtidas derivando novamente as primeiras parciais. Por exemplo,
\frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial h}{\partial x}\Bigr),\qquad \frac{\partial^{2}h}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial h}{\partial x}\Bigr),
e assim por diante.
  • Observação útil (Teorema de Clairaut): se as derivadas mistas de segunda ordem são contínuas (o que acontece para polinômios), então as derivadas mistas trocando a ordem são iguais, por exemplo
\frac{\partial^{2}h}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}h}{\partial y\partial x}.
No nosso caso isso vale, pois h é polinomial.

Passo 5

Calculemos as derivadas de segunda ordem puras (diferenciando as primeiras parciais em relação à mesma variável).
  • Para \dfrac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}: derivamos \dfrac{\partial h}{\partial x}=3x^{2} em relação a x. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x.
  • Para \dfrac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}: derivamos \dfrac{\partial h}{\partial y}=4y em relação a y:
\frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\bigr)=4.
  • Para \dfrac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}}: derivamos \dfrac{\partial h}{\partial z}=-28z^{3} em relação a z:
\frac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-28z^{3}\bigr)=-28\cdot 3z^{2}=-84z^{2}.

Passo 6

Calculemos as derivadas de segunda ordem mistas (diferenciando uma primeira parcial em relação a uma variável diferente).
  • \dfrac{\partial^{2}h}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(\dfrac{\partial h}{\partial x}\bigr)=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}\bigr). Aqui 3x^{2} não depende de y, então a derivada é \,0.
  • \dfrac{\partial^{2}h}{\partial x\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(3x^{2}\bigr)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}h}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(4y\bigr)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}h}{\partial y\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(4y\bigr)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}h}{\partial z\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-28z^{3}\bigr)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}h}{\partial z\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-28z^{3}\bigr)=0.
Como esperado, todas as mistas são \,0. Pelo Teorema de Clairaut, as mistas concordam quando trocamos a ordem.

Passo 7

(Resumo organizado em forma de matriz Hessiana, para ajudar a visualizar)
A matriz Hessiana \,H(h)(x,y,z)\, contém todas as segundas derivadas parciais (linhas = diferenciais em ordem x,y,z; colunas = ordem do segundo diferencial):
H(h)(x,y,z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}h}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2}h}{\partial x\partial z} \\\ \frac{\partial^{2}h}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2}h}{\partial y\partial z} \\\ \frac{\partial^{2}h}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^{2}h}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x & 0 & 0\\[6pt] 0 & 4 & 0\\[6pt] 0 & 0 & -84z^{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}=6x
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial x\partial y}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial x\partial z}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial y\partial x}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}=4
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial y\partial z}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial z\partial x}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial z\partial y}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}}=-84z^{2}

Exercícios relacionados