Encontre todas as derivadas de segunda ordem da função dada.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre todas as derivadas de segunda ordem” da função
Informações dadas e o que vamos precisar:
- A função é definida em três variáveis
. - Devemos encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, as derivadas
, , , , , — e também as correspondentes com a ordem dos diferenciais trocada (por exemplo, ), totalizando nove expressões a listar. - A função é um polinômio (soma de potências), logo é suave e todas as derivadas parciais necessárias existem e são contínuas.
Passo 2
Breve aula: o que é derivada parcial e como calcular aqui (regras que vamos usar).
- Definição prática: para calcular a derivada parcial de
em relação a , , tratamos e como constantes e diferenciamos apenas em relação a . Análogo para e . - Regra principal usada: a regra da potência. Para uma função monômia
(onde é constante e é a variável de diferenciação), a derivada é
- Aplicação aqui: cada monômio de
depende de apenas uma variável, o que facilita muito — ao derivar em relação a uma variável, só o termo que depende dessa variável contribui; os outros termos viram constantes e têm derivada nula.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem, mostrando passo a passo.
- Diferenciando em relação a
: o único termo que depende de é . Usando a regra da potência,
Os termos
e
são constantes quando derivamos em relação a
, então contribuem com
.
- Diferenciando em relação a
: o único termo que depende de é . Usando a regra da potência,
Os outros termos não dependem de
, então dão
.
- Diferenciando em relação a
: o único termo que depende de é . Aplicando a regra,
Resumo das primeiras derivadas:
Passo 4
O que são derivadas de segunda ordem e como vamos calculá‑las aqui.
- Definição: as derivadas parciais de segunda ordem são obtidas derivando novamente as primeiras parciais. Por exemplo,
e assim por diante.
- Observação útil (Teorema de Clairaut): se as derivadas mistas de segunda ordem são contínuas (o que acontece para polinômios), então as derivadas mistas trocando a ordem são iguais, por exemplo
No nosso caso isso vale, pois
é polinomial.
Passo 5
Calculemos as derivadas de segunda ordem puras (diferenciando as primeiras parciais em relação à mesma variável).
- Para
: derivamos em relação a . Aplicando a regra da potência:
- Para
: derivamos em relação a :
- Para
: derivamos em relação a :
Passo 6
Calculemos as derivadas de segunda ordem mistas (diferenciando uma primeira parcial em relação a uma variável diferente).
-
. Aqui não depende de , então a derivada é . -
. -
. -
. -
. -
.
Como esperado, todas as mistas são
. Pelo Teorema de Clairaut, as mistas concordam quando trocamos a ordem.
Passo 7
(Resumo organizado em forma de matriz Hessiana, para ajudar a visualizar)
A matriz Hessiana contém todas as segundas derivadas parciais (linhas = diferenciais em ordem
; colunas = ordem do segundo diferencial):
A matriz Hessiana