Encontre todas as derivadas de segunda ordem da função dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as derivadas de segunda ordem da função
Informações relevantes dadas:
Pergunta: calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem, isto é,
,
,
,
,
e
.
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
- Derivada parcial: quando calculamos
tratamos como constantes. - Regra da cadeia (versão parcial): se
, então
- Derivadas básicas que vamos precisar:
- Regra do produto (para funções de uma variável, também vale quando uma das “funções” depende de variáveis mantidas como constantes):
. Vamos usá-la quando uma derivada parcial produzir um produto (por exemplo ).
Passo 3
Simplificar a expressão interna para facilitar derivação. Defina
Usando propriedades do logaritmo:
portanto
Agora calculemos as derivadas parciais de
(são simples porque é soma):
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
usando a regra da cadeia.
Como e
, temos:
Como
Lembre-se: aqui
é
.
Passo 5
Derivadas de segunda ordem envolvendo derivada em relação a
(usar regra da cadeia novamente).
Primeiro calcule . Pela regra da cadeia:
Primeiro calcule
Portanto:
Agora
. Usando a regra da cadeia:
Analogamente,
Passo 6
Derivar
em relação a
para obter
. Aqui usamos a regra do produto (ou quociente); mostro passo a passo:
Escreva .
A derivada é
Escreva
A derivada é
Já vimos
. E
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Calcular
.
Aqui é constante em relação a
, então
Aqui
Como
, temos
Por simetria das segundas derivadas mistas (quando
é
),
.
Passo 8
Calcular
. Partimos de
. Aplicamos a regra do produto:
Primeiro termo:
Segundo termo: . Substituindo:
Segundo termo:
Simplificando:
Também podemos escrever
, se preferir.