Encontre todas as derivadas de segunda ordem da função dada.
Q(u, v, w)=\operatorname{sen}\left(u+\ln \left(v w^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as derivadas de segunda ordem da função
Q(u,v,w)=\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr).
Informações relevantes dadas:
Q(u,v,w)=\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr).
Pergunta: calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, Q_{uu}, Q_{uv}, Q_{uw}, Q_{vv}, Q_{vw} e Q_{ww}.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicação didática):
  • Derivada parcial: quando calculamos \partial/\partial u tratamos v,w como constantes.
  • Regra da cadeia (versão parcial): se \;Q(u,v,w)=f(S(u,v,w))\;, então
\frac{\partial Q}{\partial u}=f'\bigl(S(u,v,w)\bigr)\cdot\frac{\partial S}{\partial u}.
  • Derivadas básicas que vamos precisar:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x),
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
  • Regra do produto (para funções de uma variável, também vale quando uma das “funções” depende de variáveis mantidas como constantes): \dfrac{d}{dx}(f\cdot g)=f'\,g+f\,g'. Vamos usá-la quando uma derivada parcial produzir um produto (por exemplo \cos(S)\cdot \tfrac{1}{v}).

Passo 3

Simplificar a expressão interna para facilitar derivação. Defina
S(u,v,w)=u+\ln(vw^{2}).
Usando propriedades do logaritmo:
\ln(vw^{2})=\ln v + 2\ln w,
portanto
S(u,v,w)=u+\ln v + 2\ln w.
Agora calculemos as derivadas parciais de S (são simples porque é soma):
\frac{\partial S}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial S}{\partial v}=\frac{1}{v},\qquad \frac{\partial S}{\partial w}=\frac{2}{w}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem de Q usando a regra da cadeia.
Como Q=\operatorname{sen}(S) e \dfrac{d}{dS}\operatorname{sen}(S)=\cos(S), temos:
\frac{\partial Q}{\partial u}=\cos(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial u}=\cos(S)\cdot 1=\cos(S).
\frac{\partial Q}{\partial v}=\cos(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial v}=\cos(S)\cdot\frac{1}{v}=\frac{\cos(S)}{v}.
\frac{\partial Q}{\partial w}=\cos(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial w}=\cos(S)\cdot\frac{2}{w}=\frac{2\cos(S)}{w}.
Lembre-se: aqui S é \;u+\ln(vw^{2}).

Passo 5

Derivadas de segunda ordem envolvendo derivada em relação a u (usar regra da cadeia novamente).
Primeiro calcule \dfrac{\partial}{\partial u}\bigl(\cos(S)\bigr). Pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial u}\cos(S)=-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial u}=-\operatorname{sen}(S)\cdot 1=-\operatorname{sen}(S).
Portanto:
\frac{\partial^{2}Q}{\partial u^{2}}=Q_{uu}=-\operatorname{sen}(S).
Agora Q_{uv}=\dfrac{\partial}{\partial v}(Q_{u})=\dfrac{\partial}{\partial v}\cos(S). Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial v}\cos(S)=-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial v}=-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{1}{v}=-\frac{\operatorname{sen}(S)}{v}.
Analogamente,
Q_{uw}=\frac{\partial}{\partial w}\cos(S)=-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial w}=-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{2}{w}=-\frac{2\operatorname{sen}(S)}{w}.

Passo 6

Derivar Q_{v}=\dfrac{\cos(S)}{v} em relação a v para obter Q_{vv}. Aqui usamos a regra do produto (ou quociente); mostro passo a passo:
Escreva Q_{v}=\cos(S)\cdot v^{-1}.
A derivada é
\frac{\partial^{2}Q}{\partial v^{2}}= \frac{\partial}{\partial v}\bigl(\cos(S)\bigr)\cdot v^{-1} + \cos(S)\cdot\frac{\partial}{\partial v}\bigl(v^{-1}\bigr).
Já vimos \dfrac{\partial}{\partial v}\cos(S)=-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{1}{v}. E \dfrac{\partial}{\partial v}(v^{-1})=-v^{-2}=-\dfrac{1}{v^{2}}. Substituindo:
Q_{vv} = \Bigl(-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{1}{v}\Bigr)\cdot\frac{1}{v} + \cos(S)\cdot\Bigl(-\frac{1}{v^{2}}\Bigr).
Simplificando:
Q_{vv}=-\frac{\operatorname{sen}(S)}{v^{2}}-\frac{\cos(S)}{v^{2}}=-\frac{\operatorname{sen}(S)+\cos(S)}{v^{2}}.

Passo 7

Calcular Q_{vw}=\dfrac{\partial}{\partial w}\bigl(Q_{v}\bigr)=\dfrac{\partial}{\partial w}\!\left(\frac{\cos(S)}{v}\right).
Aqui 1/v é constante em relação a w, então
Q_{vw}=\frac{1}{v}\cdot\frac{\partial}{\partial w}\cos(S)=\frac{1}{v}\cdot\Bigl(-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial w}\Bigr).
Como \dfrac{\partial S}{\partial w}=\dfrac{2}{w}, temos
Q_{vw}=-\frac{1}{v}\cdot\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{2}{w}=-\frac{2\operatorname{sen}(S)}{vw}.
Por simetria das segundas derivadas mistas (quando Q é C^{2}), Q_{wv}=Q_{vw}.

Passo 8

Calcular Q_{ww}. Partimos de Q_{w}=\dfrac{2\cos(S)}{w}=2\cos(S)\cdot w^{-1}. Aplicamos a regra do produto:
Q_{ww}=\frac{\partial}{\partial w}\bigl(2\cos(S)\bigr)\cdot w^{-1} + 2\cos(S)\cdot\frac{\partial}{\partial w}\bigl(w^{-1}\bigr).
Primeiro termo: \dfrac{\partial}{\partial w}\bigl(2\cos(S)\bigr)=2\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{\partial S}{\partial w}\bigr)=2\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(S)\cdot\frac{2}{w}\bigr)=-\frac{4\operatorname{sen}(S)}{w}.
Segundo termo: \dfrac{\partial}{\partial w}(w^{-1})=-w^{-2}=-\dfrac{1}{w^{2}}. Substituindo:
Q_{ww}=\Bigl(-\frac{4\operatorname{sen}(S)}{w}\Bigr)\cdot\frac{1}{w} + 2\cos(S)\cdot\Bigl(-\frac{1}{w^{2}}\Bigr).
Simplificando:
Q_{ww}=-\frac{4\operatorname{sen}(S)}{w^{2}}-\frac{2\cos(S)}{w^{2}}=-\frac{4\operatorname{sen}(S)+2\cos(S)}{w^{2}}.
Também podemos escrever Q_{ww}=-\dfrac{2\bigl(2\operatorname{sen}(S)+\cos(S)\bigr)}{w^{2}}, se preferir.

Resposta

Q_{uu}=-\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr) \n
Q_{uv}=-\dfrac{\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr)}{v} \n
Q_{uw}=-\dfrac{2\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr)}{w} \n
Q_{vv}=-\dfrac{\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr)+\cos\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr)}{v^{2}} \n
Q_{vw}=-\dfrac{2\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr)}{vw} \n
Q_{ww}=-\dfrac{4\operatorname{sen}\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr)+2\cos\!\bigl(u+\ln(vw^{2})\bigr)}{w^{2}}

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