Encontre todas as derivadas de terceira ordem da função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede “todas as derivadas de terceira ordem” — isto é, todas as derivadas parciais de terceira ordem em relação às variáveis
e
. Especificamente precisamos encontrar
cada uma como função de
e
. Esses são os dados que usaremos.
Passo 2
Vamos preparar as ferramentas: a função é composição de
com a função interna
Regra da cadeia (explicação simples): se
com
univariable e
multivariable, então a derivada parcial de
em relação a
é
Aqui
, logo
. Calculamos as derivadas parciais de
:
Esses valores são constantes (para
) ou simples em
(para
) e serão usados repetidamente.
Passo 3
Primeiras derivadas parciais — aplicando a regra da cadeia:
Observação: em
usamos que
, por isso aparece o fator
. Para derivar expressões como
vai aparecer a regra do produto — vou explicar quando precisar.
Passo 4
Segundas derivadas — preparar regras:
- Regra da cadeia para derivar
: . - Regra do produto: se
, então . Usaremos isso para derivadas que envolvem .
Agora calculamos cada segunda derivada com cuidado.
Passo 5
Calcular
:
Calcular
(derivar
em relação a
):
Calcular
(derivar
em relação a
) para verificar a igualdade mista:
Derivando em
usamos regra do produto (a parte
é tratada como constante em
):
Portanto
, como esperado.
Calcular
(derivar
em relação a
) — aqui usamos produto:
Derivando:
A derivada de
é
. A derivada de
em
é
. Logo
Substituindo
:
Passo 6
Agora as derivadas de terceira ordem. Vamos derivar cada segunda derivada adequada, usando cadeia e produto quando necessário. Para tornar mais compacto, vou chamar
mentalmente, mas em cada passo substituo no final.
-
.
Aplicando cadeia:
-
:
Podemos verificar simetria:
(iremos ver as outras formas a seguir).
-
.
Aquié tratado como constante ao derivar em :
-
. Como (mesmo que ), a derivada em é igual à do item anterior:
-
.
Agora aplicamos a regra do produto em:
A derivada de
é
. A derivada de
em
é
. Logo
Substituindo
:
-
. Como (mesma expressão), a derivada dá o mesmo resultado:
-
.
Derivamos termo a termo. Para o primeiro termo:
Para o segundo termo (
),
é constante em
, então
Somando:
igual ao resultado de
, conforme a simetria esperada.
- Finalmente
.
Derivamos termo a termo.
Para
:
Para
usamos produto (com
e
):
Lembrando
, o segundo termo fica
Assim o total é
Substituindo
: