Encontre todas as derivadas de terceira ordem da função dada.
A(u, v)=\operatorname{sen}\left(3 u-2 v^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
A(u,v)=\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
e pede “todas as derivadas de terceira ordem” — isto é, todas as derivadas parciais de terceira ordem em relação às variáveis u e v. Especificamente precisamos encontrar
A_{uuu},\; A_{uuv},\; A_{uvu},\; A_{vuu},\; A_{uvv},\; A_{vuv},\; A_{vvu},\; A_{vvv},
cada uma como função de u e v. Esses são os dados que usaremos.

Passo 2

Vamos preparar as ferramentas: a função é composição de \sin com a função interna
\varphi(u,v)=3u-2v^{2}.
Regra da cadeia (explicação simples): se A(u,v)=f(\varphi(u,v)) com f univariable e \varphi multivariable, então a derivada parcial de A em relação a u é
\frac{\partial A}{\partial u}=f'(\varphi)\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial u}.
Aqui f(x)=\sin x, logo f'(x)=\cos x. Calculamos as derivadas parciais de \varphi:
\phi_{u}=\frac{\partial}{\partial u}(3u-2v^{2})=3, \qquad \phi_{v}=\frac{\partial}{\partial v}(3u-2v^{2})=-4v.
Esses valores são constantes (para \phi_{u}) ou simples em v (para \phi_{v}) e serão usados repetidamente.

Passo 3

Primeiras derivadas parciais — aplicando a regra da cadeia:
A_{u}=\cos\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\cdot\phi_{u}=3\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
A_{v}=\cos\bigl(\varphi(u,v)\bigr)\cdot\phi_{v}=-4v\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
Observação: em A_{v} usamos que \phi_{v}=-4v, por isso aparece o fator -4v. Para derivar expressões como v\cos(\varphi) vai aparecer a regra do produto — vou explicar quando precisar.

Passo 4

Segundas derivadas — preparar regras:
  • Regra da cadeia para derivar \cos(\varphi(u,v)): \dfrac{\partial}{\partial u}\cos(\varphi)=-\sin(\varphi)\cdot\phi_{u}.
  • Regra do produto: se h(v)=g(v)\cdot w(v), então h'(v)=g'(v)w(v)+g(v)w'(v). Usaremos isso para derivadas que envolvem v\cos(\varphi).
Agora calculamos cada segunda derivada com cuidado.

Passo 5

Calcular A_{uu}:
A_{uu}=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(3\cos(\varphi)\bigr)=3\cdot\bigl(-\sin(\varphi)\bigr)\cdot\phi_{u} =3\cdot(-\sin(\varphi))\cdot 3=-9\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
Calcular A_{uv} (derivar A_u em relação a v):
A_{uv}=\frac{\partial}{\partial v}\bigl(3\cos(\varphi)\bigr)=3\cdot\bigl(-\sin(\varphi)\bigr)\cdot\phi_{v} =3\cdot(-\sin(\varphi))\cdot(-4v)=12v\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
Calcular A_{vu} (derivar A_v em relação a u) para verificar a igualdade mista:
A_{v}=-4v\cos(\varphi).
Derivando em u usamos regra do produto (a parte -4v é tratada como constante em u):
A_{vu}=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(-4v\cos(\varphi)\bigr)=-4v\cdot\bigl(-\sin(\varphi)\bigr)\cdot\phi_{u} =-4v\cdot(-\sin(\varphi))\cdot 3=12v\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
Portanto A_{uv}=A_{vu}, como esperado.
Calcular A_{vv} (derivar A_v em relação a v) — aqui usamos produto:
A_{v}=-4v\cos(\varphi).
Derivando:
A_{vv}=\frac{\partial}{\partial v}(-4v)\cdot\cos(\varphi)+(-4v)\cdot\frac{\partial}{\partial v}\cos(\varphi).
A derivada de -4v é -4. A derivada de \cos(\varphi) em v é -\sin(\varphi)\cdot\phi_{v}= -\sin(\varphi)\cdot(-4v)=4v\sin(\varphi). Logo
A_{vv}=-4\cos(\varphi)+(-4v)\cdot\bigl(4v\sin(\varphi)\bigr)=-4\cos(\varphi)-16v^{2}\sin(\varphi).
Substituindo \varphi=3u-2v^{2}:
A_{vv}=-4\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)-16v^{2}\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr).

Passo 6

Agora as derivadas de terceira ordem. Vamos derivar cada segunda derivada adequada, usando cadeia e produto quando necessário. Para tornar mais compacto, vou chamar \varphi=3u-2v^{2} mentalmente, mas em cada passo substituo no final.
  1. A_{uuu}=\dfrac{\partial}{\partial u}A_{uu}=\dfrac{\partial}{\partial u}\bigl(-9\sin(\varphi)\bigr).
    Aplicando cadeia:
A_{uuu}=-9\cos(\varphi)\cdot\phi_{u}=-9\cos(\varphi)\cdot 3=-27\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
  1. A_{uuv}=\dfrac{\partial}{\partial v}A_{uu}=\dfrac{\partial}{\partial v}\bigl(-9\sin(\varphi)\bigr):
A_{uuv}=-9\cos(\varphi)\cdot\phi_{v}=-9\cos(\varphi)\cdot(-4v)=36v\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
Podemos verificar simetria: A_{uuv}=A_{uvu}=A_{vuu} (iremos ver as outras formas a seguir).
  1. A_{uvu}=\dfrac{\partial}{\partial u}A_{uv}=\dfrac{\partial}{\partial u}\bigl(12v\sin(\varphi)\bigr).
    Aqui 12v é tratado como constante ao derivar em u:
A_{uvu}=12v\cdot\cos(\varphi)\cdot\phi_{u}=12v\cos(\varphi)\cdot 3=36v\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
  1. A_{vuu}=\dfrac{\partial}{\partial u}A_{vu}. Como A_{vu}=12v\sin(\varphi) (mesmo que A_{uv}), a derivada em u é igual à do item anterior:
A_{vuu}=36v\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
  1. A_{uvv}=\dfrac{\partial}{\partial v}A_{uv}=\dfrac{\partial}{\partial v}\bigl(12v\sin(\varphi)\bigr).
    Agora aplicamos a regra do produto em v:
A_{uvv}=\frac{\partial}{\partial v}(12v)\cdot\sin(\varphi)+12v\cdot\frac{\partial}{\partial v}\sin(\varphi).
A derivada de 12v é 12. A derivada de \sin(\varphi) em v é \cos(\varphi)\cdot\phi_{v}=\cos(\varphi)\cdot(-4v)=-4v\cos(\varphi). Logo
A_{uvv}=12\sin(\varphi)+12v\cdot(-4v\cos(\varphi))=12\sin(\varphi)-48v^{2}\cos(\varphi).
Substituindo \varphi:
A_{uvv}=12\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)-48v^{2}\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
  1. A_{vuv}=\dfrac{\partial}{\partial v}A_{vu}. Como A_{vu}=12v\sin(\varphi) (mesma expressão), a derivada dá o mesmo resultado:
A_{vuv}=12\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)-48v^{2}\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).
  1. A_{vvu}=\dfrac{\partial}{\partial u}A_{vv}=\dfrac{\partial}{\partial u}\bigl(-4\cos(\varphi)-16v^{2}\sin(\varphi)\bigr).
    Derivamos termo a termo. Para o primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial u}\bigl(-4\cos(\varphi)\bigr)=-4\cdot(-\sin(\varphi))\cdot\phi_{u}=4\sin(\varphi)\cdot 3=12\sin(\varphi).
Para o segundo termo ( -16v^{2}\sin(\varphi)), v^{2} é constante em u, então
\frac{\partial}{\partial u}\bigl(-16v^{2}\sin(\varphi)\bigr)=-16v^{2}\cdot\cos(\varphi)\cdot\phi_{u}=-16v^{2}\cos(\varphi)\cdot 3=-48v^{2}\cos(\varphi).
Somando:
A_{vvu}=12\sin(\varphi)-48v^{2}\cos(\varphi),
igual ao resultado de A_{uvv}, conforme a simetria esperada.
  1. Finalmente A_{vvv}=\dfrac{\partial}{\partial v}A_{vv}=\dfrac{\partial}{\partial v}\bigl(-4\cos(\varphi)-16v^{2}\sin(\varphi)\bigr).
    Derivamos termo a termo.
Para -4\cos(\varphi):
\frac{\partial}{\partial v}\bigl(-4\cos(\varphi)\bigr)=-4\cdot(-\sin(\varphi))\cdot\phi_{v}=4\sin(\varphi)\cdot(-4v)=-16v\sin(\varphi).
Para -16v^{2}\sin(\varphi) usamos produto (com g(v)=-16v^{2} e h(v)=\sin(\varphi)):
\frac{\partial}{\partial v}\bigl(-16v^{2}\sin(\varphi)\bigr)=\bigl(-32v\bigr)\sin(\varphi)+(-16v^{2})\cdot\cos(\varphi)\cdot\phi_{v}.
Lembrando \phi_{v}=-4v, o segundo termo fica
(-16v^{2})\cdot\cos(\varphi)\cdot(-4v)=64v^{3}\cos(\varphi).
Assim o total é
A_{vvv}=(-16v\sin(\varphi))+(-32v\sin(\varphi))+64v^{3}\cos(\varphi)=-48v\sin(\varphi)+64v^{3}\cos(\varphi).
Substituindo \varphi:
A_{vvv}=-48v\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)+64v^{3}\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr).

Resposta

A_{uuu}(u,v)=-27\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
A_{uuv}(u,v)=36v\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
A_{uvu}(u,v)=36v\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
A_{vuu}(u,v)=36v\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
A_{uvv}(u,v)=12\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)-48v^{2}\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
A_{vuv}(u,v)=12\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)-48v^{2}\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
A_{vvu}(u,v)=12\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)-48v^{2}\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)
A_{vvv}(u,v)=-48v\sin\bigl(3u-2v^{2}\bigr)+64v^{3}\cos\bigl(3u-2v^{2}\bigr)

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