1. Encontre todas as raízes racionais do polinômio P(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes racionais do polinômio
P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
O conteúdo principal aqui é o Teorema das Raízes Racionais, que diz que quaisquer raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros são da forma \pm (divisor de termo constante)/(divisor de coeficiente líder).

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos são os divisores de -6 (termo constante) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder). Logo, os candidatos são
\pm1,\pm2,\pm3,\pm6.

Passo 3

Testamos x=1:
P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6=1-6+11-6=0.
Como P(1)=0, x=1 é raiz. Assim, (x-1) é fator de P(x).

Passo 4

Fazemos a divisão de polinômios de P(x) por (x-1). Obtemos
\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x-1}=x^2-5x+6.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática x^2-5x+6=0. Essa fatoriza como
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,
logo as raízes são x=2 e x=3.

Passo 6

Reunindo todas as raízes racionais encontradas, temos
x=1,\quad x=2,\quad x=3.

Resposta

As raízes racionais de P(x) são 1, 2 e 3.

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