Encontre todas as retas assíntotas horizontais e verticais das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado fornece a função racional
e pede para encontrar todas as retas assíntotas horizontais e verticais dessa função.
Informações relevantes dadas:
- A função é uma fração de polinômios (função racional).
- O numerador é
e o denominador é . - Pontos onde o denominador é zero são candidatos a assíntotas verticais.
- O comportamento quando
determina assíntotas horizontais.
Passo 2
Definições úteis (explicadas devagar e com jeitinho):
- Uma reta vertical
é assíntota vertical de se pelo menos uma das limites laterais ou for ou . Em palavras: a função “explode” quando se aproxima de . - Uma reta horizontal
é assíntota horizontal se ou (ou ambas). Em outras palavras: quando vai para ou , a função se aproxima do valor .
Dica prática para funções racionais:
- Compare os graus (grau do polinômio do numerador e do denominador).
- Se o grau do numerador é menor que o do denominador, então
costuma ser assíntota horizontal. - Se os graus são iguais, a assíntota horizontal (se existir) é a razão dos coeficientes dominantes.
- Se o grau do numerador é maior que o do denominador por exatamente 1, pode haver uma assíntota oblíqua (não é o nosso caso).
- Se o grau do numerador é maior por 2 ou mais, não há assíntota horizontal simples.
- Se o grau do numerador é menor que o do denominador, então
Passo 3
Procurando assíntotas verticais: zeros do denominador.
O denominador é
. Resolver
dá
Portanto
é o candidato. Agora verificar o comportamento da função ao se aproximar de
pelas duas direções.
Para isso, faça a substituição
com
. Então
Separe os termos:
Agora observe o que acontece quando
(aproximação pela direita) e quando
(pela esquerda):
- O termo
é sempre positivo e tende a quando . - O termo
tende a quando e a quando , mas é dominado pelo que cresce mais rápido (porque é proporcional a ).
Conclusão rigorosa: tanto paraquanto para o termo dominante faz com que
Como pelo menos uma (na verdade ambas) das duas limites laterais é infinito,
é assíntota vertical.
Comentário intuitivo: devido ao quadrado no denominador, o sinal do denominador é positivo em ambos os lados de
, e a função sobe sem limite ao se aproximar de
.
Passo 4
Procurando assíntotas horizontais: comportamento em
.
Aqui os graus: numerador tem grau
e denominador também tem grau
. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal (se houver) é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Os coeficientes principais de
em numerador e denominador são ambos
, então a razão é
. Para ser formal, calcule o limite.
Escreva a função de forma que fique claro o comportamento para
:
Divida numerador e denominador por
(método padrão para limites em infinito):
Agora tome o limite quando
. Como
e
, obtemos
Faça o mesmo para
. As frações
e
também tendem a
(note que
independente do sinal de
, e
é sempre positivo e vai para
). Portanto
Como os limites nas duas direções do infinito são iguais a
, a reta
é assíntota horizontal para
e para
.
Passo 5
Resumo do que encontramos e algumas notas finais:
- Há exatamente uma assíntota vertical em
. A função tende a em ambos os lados de por causa do quadrado no denominador. - Há exatamente uma assíntota horizontal em
, porque os graus do numerador e do denominador são iguais e os coeficientes dominantes têm razão . - Não há outras assíntotas horizontais nem oblíquas.
Boa notícia: essa função é bem comportada longe de
: ela se aproxima da linha
quando
vai para
ou
; perto de
ela explode para
.
Resposta
Reta vertical:
Reta horizontal:
Reta horizontal: