Encontre todas as retas assíntotas horizontais e verticais das funções a seguir:
f(x)=\frac{x^{2}}{(x-5)^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a função racional
f(x)=\frac{x^{2}}{(x-5)^{2}}
e pede para encontrar todas as retas assíntotas horizontais e verticais dessa função.
Informações relevantes dadas:
  • A função é uma fração de polinômios (função racional).
  • O numerador é \,x^{2}\, e o denominador é \,(x-5)^{2}\,.
  • Pontos onde o denominador é zero são candidatos a assíntotas verticais.
  • O comportamento quando x\to\pm\infty determina assíntotas horizontais.

Passo 2

Definições úteis (explicadas devagar e com jeitinho):
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) ou \lim_{x\to a^+} f(x) for +\infty ou -\infty. Em palavras: a função “explode” quando se aproxima de a.
  • Uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty} f(x)=L (ou ambas). Em outras palavras: quando x vai para +\infty ou -\infty, a função se aproxima do valor L.
Dica prática para funções racionais:
  • Compare os graus (grau do polinômio do numerador e do denominador).
    • Se o grau do numerador é menor que o do denominador, então y=0 costuma ser assíntota horizontal.
    • Se os graus são iguais, a assíntota horizontal (se existir) é a razão dos coeficientes dominantes.
    • Se o grau do numerador é maior que o do denominador por exatamente 1, pode haver uma assíntota oblíqua (não é o nosso caso).
    • Se o grau do numerador é maior por 2 ou mais, não há assíntota horizontal simples.

Passo 3

Procurando assíntotas verticais: zeros do denominador.
O denominador é (x-5)^{2}. Resolver (x-5)^{2}=0
x=5.
Portanto x=5 é o candidato. Agora verificar o comportamento da função ao se aproximar de 5 pelas duas direções.
Para isso, faça a substituição x=5+h com h\to 0. Então
f(5+h)=\frac{(5+h)^{2}}{(5+h-5)^{2}}=\frac{(5+h)^{2}}{h^{2}}=\frac{25+10h+h^{2}}{h^{2}}.
Separe os termos:
f(5+h)=\frac{25}{h^{2}}+\frac{10}{h}+1.
Agora observe o que acontece quando h\to 0^+ (aproximação pela direita) e quando h\to 0^- (pela esquerda):
  • O termo \dfrac{25}{h^{2}} é sempre positivo e tende a +\infty quando h\to 0.
  • O termo \dfrac{10}{h} tende a +\infty quando h\to 0^+ e a -\infty quando h\to 0^-, mas é dominado pelo \dfrac{25}{h^{2}} que cresce mais rápido (porque é proporcional a 1/h^{2}).
    Conclusão rigorosa: tanto para h\to 0^+ quanto para h\to 0^- o termo dominante \dfrac{25}{h^{2}} faz com que
\lim_{x\to 5^+} f(x)=+\infty\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 5^-} f(x)=+\infty.
Como pelo menos uma (na verdade ambas) das duas limites laterais é infinito, x=5 é assíntota vertical.
Comentário intuitivo: devido ao quadrado no denominador, o sinal do denominador é positivo em ambos os lados de 5, e a função sobe sem limite ao se aproximar de 5.

Passo 4

Procurando assíntotas horizontais: comportamento em x\to\pm\infty.
Aqui os graus: numerador tem grau 2 e denominador também tem grau 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal (se houver) é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Os coeficientes principais de x^{2} em numerador e denominador são ambos 1, então a razão é 1. Para ser formal, calcule o limite.
Escreva a função de forma que fique claro o comportamento para x\to\infty:
f(x)=\frac{x^{2}}{(x-5)^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}-10x+25}.
Divida numerador e denominador por x^{2} (método padrão para limites em infinito):
f(x)=\frac{1}{1-\dfrac{10}{x}+\dfrac{25}{x^{2}}}.
Agora tome o limite quando x\to+\infty. Como \dfrac{10}{x}\to 0 e \dfrac{25}{x^{2}}\to 0, obtemos
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{1}{1-0+0}=1.
Faça o mesmo para x\to -\infty. As frações \dfrac{10}{x} e \dfrac{25}{x^{2}} também tendem a 0 (note que \dfrac{10}{x}\to 0 independente do sinal de x, e \dfrac{25}{x^{2}} é sempre positivo e vai para 0). Portanto
\lim_{x\to -\infty} f(x)=1.
Como os limites nas duas direções do infinito são iguais a 1, a reta y=1 é assíntota horizontal para x\to+\infty e para x\to-\infty.

Passo 5

Resumo do que encontramos e algumas notas finais:
  • Há exatamente uma assíntota vertical em x=5. A função tende a +\infty em ambos os lados de x=5 por causa do quadrado no denominador.
  • Há exatamente uma assíntota horizontal em y=1, porque os graus do numerador e do denominador são iguais e os coeficientes dominantes têm razão 1.
  • Não há outras assíntotas horizontais nem oblíquas.
Boa notícia: essa função é bem comportada longe de x=5: ela se aproxima da linha y=1 quando x vai para +\infty ou -\infty; perto de x=5 ela explode para +\infty.

Resposta

Reta vertical: x=5
Reta horizontal: y=1

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