Questão 1: Em cada situação, calcule o limite indicado.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-2 x^{3}+x^{2}-8 x+5}{5 x^{3}+5 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{-2x^{3}+x^{2}-8x+5}{5x^{3}+5x-4}.
Informações dadas:
  • Numerador: -2x^{3}+x^{2}-8x+5.
  • Denominador: 5x^{3}+5x-4.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty (tendência para menos infinito).

Passo 2

Ideia geral que vamos aplicar (explicação didática): em funções racionais (frações de polinômios), quando x tende para infinito em módulo, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui tanto o numerador quanto o denominador têm grau 3 (o maior expoente é 3). Assim o comportamento para x\to\pm\infty costuma ser governado apenas pelos termos de grau 3, isto é, pelos coeficientes dos x^{3}. Vou mostrar isso fazendo a divisão por x^{3} (método direto e seguro), e explicar por que os termos de menor ordem desaparecem.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3}. Isto é uma técnica padrão: para qualquer x\neq0,
\frac{-2x^{3}+x^{2}-8x+5}{5x^{3}+5x-4} = \frac{\dfrac{-2x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{-8x}{x^{3}}+\dfrac{5}{x^{3}}} {\dfrac{5x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{5x}{x^{3}}+\dfrac{-4}{x^{3}}}.
Agora simplifico cada fração:
\frac{-2x^{3}+x^{2}-8x+5}{5x^{3}+5x-4} = \frac{-2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}}{5+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{4}{x^{3}}}.

Passo 4

Análise dos termos pequenos quando x\to -\infty:
  • Para qualquer inteiro k>0, \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. Raciocínio simples: |x|^{k} cresce indefinidamente, logo 1/|x|^{k}\to 0; o sinal pode ficar negativo se k for ímpar, mas o valor absoluto vai para 0, portanto o limite é 0.
    Aplicando isso aos termos:
\frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0\quad\text{quando }x\to -\infty.

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão obtida no Passo 3 e usando a propriedade de limites (se o limite do denominador não é zero, o limite da razão é a razão dos limites), obtemos:
\lim_{x\to -\infty}\frac{-2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}}{5+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{4}{x^{3}}} = \frac{-2+0-0+0}{5+0-0} = \frac{-2}{5}.
Comentário pedagógico rápido (truque útil para a prova): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau n, o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de grau n. Aqui os coeficientes dos x^{3} são -2 e 5, então o limite é -2/5. A demonstração acima via divisão por x^{3} justifica esse truque.

Resposta

-\dfrac{2}{5}

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