Questão 1: Em cada situação, calcule o limite indicado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O ponto de interesse é
(tendência para menos infinito).
Passo 2
Ideia geral que vamos aplicar (explicação didática): em funções racionais (frações de polinômios), quando
tende para infinito em módulo, os termos de maior grau dominam o comportamento. Aqui tanto o numerador quanto o denominador têm grau
(o maior expoente é
). Assim o comportamento para
costuma ser governado apenas pelos termos de grau
, isto é, pelos coeficientes dos
. Vou mostrar isso fazendo a divisão por
(método direto e seguro), e explicar por que os termos de menor ordem desaparecem.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Isto é uma técnica padrão: para qualquer
,
Agora simplifico cada fração:
Passo 4
Análise dos termos pequenos quando
:
- Para qualquer inteiro
, quando . Raciocínio simples: cresce indefinidamente, logo ; o sinal pode ficar negativo se for ímpar, mas o valor absoluto vai para , portanto o limite é .
Aplicando isso aos termos:
Passo 5
Substituindo esses limites na expressão obtida no Passo 3 e usando a propriedade de limites (se o limite do denominador não é zero, o limite da razão é a razão dos limites), obtemos:
Comentário pedagógico rápido (truque útil para a prova): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau
, o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de grau
. Aqui os coeficientes dos
são
e
, então o limite é
. A demonstração acima via divisão por
justifica esse truque.