Questão 1: Em cada situação, calcule o limite indicado.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser estudada é
. - A aproximação é por valores de
vindos da direita de (isto é, e ). - Quando
, o argumento do logaritmo tende para (valores positivos muito pequenos).
Passo 2
Trocar a variável para deixar explícito o comportamento quando o argumento do log vai para zero. Faça a substituição
Quando
temos
(pois
e vai para zero). Reescrevendo a expressão em função de
:
Passo 3
Separe a expressão em duas parcelas para analisar cada uma:
Agora vamos estudar o limite de cada parcela quando
.
Passo 4
Analisar
. Sabendo que
quando
(o log de um número positivo que vai a zero é negativo e de módulo crescente), concluímos
Então uma das parcelas diverge para
.
Passo 5
Analisar
. Esse é um caso de produto do tipo
. É preciso mostrar que esse produto tende a
. Uma maneira clara e intuitiva: faça a substituição
, com
. Quando
temos
. Então
Como
cresce muito mais rápido que
quando
, a razão
tende a
. Logo
Passo 6
(Já que é útil ver outra abordagem rápida) Alternativa com regra de l’Hôpital: escrever
Quando
temos
e
, forma
. Aplicando l’Hôpital,
confirmando que
.
Passo 7
Combinar os resultados das parcelas:
A parcela divergente domina, portanto o limite total diverge para
.