Questão 1: Em cada situação, calcule o limite indicado.
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} x \ln (x-3)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 3^{+}} x\ln(x-3).
Informações dadas:
  • A expressão a ser estudada é x\ln(x-3).
  • A aproximação é por valores de x vindos da direita de 3 (isto é, x>3 e x\to3).
  • Quando x\to3^{+}, o argumento do logaritmo x-3 tende para 0^{+} (valores positivos muito pequenos).

Passo 2

Trocar a variável para deixar explícito o comportamento quando o argumento do log vai para zero. Faça a substituição
t = x-3.
Quando x\to3^{+} temos t\to0^{+} (pois t>0 e vai para zero). Reescrevendo a expressão em função de t:
x\ln(x-3)=(3+t)\ln t.

Passo 3

Separe a expressão em duas parcelas para analisar cada uma:
(3+t)\ln t = 3\ln t + t\ln t.
Agora vamos estudar o limite de cada parcela quando t\to0^{+}.

Passo 4

Analisar 3\ln t. Sabendo que \ln t\to -\infty quando t\to0^{+} (o log de um número positivo que vai a zero é negativo e de módulo crescente), concluímos
\lim_{t\to0^{+}} 3\ln t = -\infty.
Então uma das parcelas diverge para -\infty.

Passo 5

Analisar t\ln t. Esse é um caso de produto do tipo 0\cdot(-\infty). É preciso mostrar que esse produto tende a 0. Uma maneira clara e intuitiva: faça a substituição t=e^{-u}, com u>0. Quando t\to0^{+} temos u\to+\infty. Então
t\ln t = e^{-u}\ln(e^{-u}) = e^{-u}(-u) = -u e^{-u}.
Como e^{u} cresce muito mais rápido que u quando u\to+\infty, a razão u e^{-u} tende a 0. Logo
\lim_{t\to0^{+}} t\ln t = 0.

Passo 6

(Já que é útil ver outra abordagem rápida) Alternativa com regra de l’Hôpital: escrever
t\ln t = \frac{\ln t}{1/t}.
Quando t\to0^{+} temos \ln t\to -\infty e 1/t\to+\infty, forma \frac{-\infty}{+\infty}. Aplicando l’Hôpital,
\lim_{t\to0^{+}}\frac{\ln t}{1/t}=\lim_{t\to0^{+}}\frac{(1/t)}{(-1/t^{2})}=\lim_{t\to0^{+}}(-t)=0,
confirmando que t\ln t\to0.

Passo 7

Combinar os resultados das parcelas:
\lim_{t\to0^{+}} \big(3\ln t + t\ln t\big) = \lim_{t\to0^{+}}3\ln t + \lim_{t\to0^{+}}t\ln t = -\infty + 0 = -\infty.
A parcela divergente domina, portanto o limite total diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados