Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
x y^{\prime}+y=3 x^{3}-1 ; \quad x>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
x\,y'(x)+y(x)=3x^{3}-1, \qquad x>0.
O que se pede: encontrar todas as soluções y(x) definidas para x>0.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A variável independente satisfaz x>0.
  • A equação relaciona y' (derivada de y) e y com uma função explícita de x.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão para poder aplicar um método sistemático. Dividindo ambos os lados por x (permitido porque x>0) obtemos
y'(x)+\frac{1}{x}\,y(x)=3x^{2}-\frac{1}{x}.
Explicação didática do que fiz: queremos uma equação do tipo
y'+P(x)\,y=Q(x),
porque existe um procedimento (fator integrante) que transforma o lado esquerdo numa derivada total. Aqui identificamos
P(x)=\frac{1}{x}, \qquad Q(x)=3x^{2}-\frac{1}{x}.

Passo 3

Construir o fator integrante. A definição prática do fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Vamos calcular \mu(x). Como P(x)=\dfrac{1}{x},
\int P(x)\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x,
onde usamos \ln x porque x>0 (logo o logaritmo natural está bem definido). Portanto
\mu(x)=\exp(\ln x)=x.
Comentário: o fator integrante serve para que \mu(x)y tenha derivada igual a \mu(x)y'+\mu'(x)y, que coincide com o lado esquerdo após multiplicar a equação por \mu.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x. Fazendo isso obtemos
x\bigg(y'(x)+\frac{1}{x}y(x)\bigg)=x\Big(3x^{2}-\frac{1}{x}\Big).
No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
x\,y'(x)+y(x)=(x\,y(x))'.
No lado direito simplificamos:
x\Big(3x^{2}-\frac{1}{x}\Big)=3x^{3}-1.
Portanto a equação fica
(x\,y(x))' = 3x^{3}-1.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a derivada no lado esquerdo e a função no direito:
\int (x\,y(x))'\,dx = \int \big(3x^{3}-1\big)\,dx.
O lado esquerdo dá simplesmente x\,y(x). No lado direito,
\int \big(3x^{3}-1\big)\,dx = 3\cdot\frac{x^{4}}{4} - x + C = \frac{3}{4}x^{4}-x+C,
onde C é a constante de integração. Assim
x\,y(x)=\frac{3}{4}x^{4}-x+C.

Passo 6

Isolar y(x) dividindo por x (novamente válido porque x>0):
y(x)=\frac{\frac{3}{4}x^{4}-x+C}{x}=\frac{3}{4}x^{3}-1+\frac{C}{x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Essa é a família geral de soluções definidas para x>0.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular y' e substituir na equação original para checar que funciona.
Calculemos y'(x). Para
y(x)=\frac{3}{4}x^{3}-1+C x^{-1},
temos
y'(x)=\frac{9}{4}x^{2}-C x^{-2}.
Agora
x\,y'(x)+y(x) = x\Big(\frac{9}{4}x^{2}-C x^{-2}\Big)+\Big(\frac{3}{4}x^{3}-1+C x^{-1}\Big) =\frac{9}{4}x^{3}-C x^{-1}+\frac{3}{4}x^{3}-1+C x^{-1}.
Os termos com C cancelam e somando os demais:
\frac{9}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x^{3}-1=3x^{3}-1,
o que coincide com o lado direito original. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{3}{4}x^{3}-1+\frac{C}{x},\qquad C\in\mathbb{R},\; x>0.

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