Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
O que se pede: encontrar todas as soluções
definidas para
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é a função
. - A variável independente satisfaz
. - A equação relaciona
(derivada de ) e com uma função explícita de .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão para poder aplicar um método sistemático. Dividindo ambos os lados por
(permitido porque
) obtemos
Explicação didática do que fiz: queremos uma equação do tipo
porque existe um procedimento (fator integrante) que transforma o lado esquerdo numa derivada total. Aqui identificamos
Passo 3
Construir o fator integrante. A definição prática do fator integrante
é
Vamos calcular
. Como
,
onde usamos
porque
(logo o logaritmo natural está bem definido). Portanto
Comentário: o fator integrante serve para que
tenha derivada igual a
, que coincide com o lado esquerdo após multiplicar a equação por
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos
No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
No lado direito simplificamos:
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a derivada no lado esquerdo e a função no direito:
O lado esquerdo dá simplesmente
. No lado direito,
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 6
Isolar
dividindo por
(novamente válido porque
):
Aqui
é uma constante arbitrária real. Essa é a família geral de soluções definidas para
.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
e substituir na equação original para checar que funciona.
Calculemos
. Para
temos
Agora
Os termos com
cancelam e somando os demais:
o que coincide com o lado direito original. Portanto a solução está correta.