As seguintes EDOs são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Classifique-as em : linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H):
y^{\prime}=x y ; \quad x d x-\frac{1}{y} d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta duas EDOs (uma em forma normal e outra em forma diferencial) e pede sua classificação entre: linear (L), a variáveis separáveis (VS), exatas (E) ou a coeficientes homogêneos (H).
As equações dadas são:
\text{(1)}\quad y' = x\,y
\text{(2)}\quad x\,dx - \frac{1}{y}\,dy = 0
O que se pede: para cada uma das duas equações indicar qual(is) das etiquetas L, VS, E, H se aplicam.

Passo 2

Definição e teste de “linear” (primeira ordem).
  • Uma EDO de primeira ordem é dita linear se pode ser escrita na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções apenas de x. Aqui y e y' aparecem apenas em combinações lineares (sem produtos y\cdot y, senos de y etc.).
  • Aplicando ao caso (1): escrevendo a equação como
y' - x\,y = 0
vemos que p(x) = -x e q(x)=0. Portanto a equação (1) está na forma linear; logo (1) é linear (L).
  • Observação prática: para testar linearidade basta conseguir colocar a EDO na forma acima com p e q dependendo só de x.

Passo 3

Definição e teste de “a variáveis separáveis” (VS).
  • Uma EDO é separável se pode ser escrita como
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y),
ou seja, se é possível separar todos os termos contendo y de todos os termos contendo x, obtendo algo do tipo
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx.
  • Para (1) temos
\frac{dy}{dx} = x\,y,
que é exatamente do tipo g(x)h(y) com g(x)=x e h(y)=y. Logo é separável. Exemplo de separação e integração (mostra como fazer na prova):
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx
\Rightarrow \ln|y| = \tfrac{1}{2}x^{2} + C.
  • Conclusão: (1) é a variáveis separáveis (VS) além de linear já detectado.

Passo 4

Definição e teste de “exata” (E) para uma forma diferencial.
  • Uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x = M e \partial \Phi/\partial y = N. Um teste prático (quando M e N têm derivadas contínuas) é:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
  • Aplicando esse teste à equação (1) escrita na forma diferencial: se colocarmos (1) como
dy - x\,y\,dx = 0,
então M(x,y) = -x\,y e N(x,y)=1. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -x,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 0,
que não são iguais. Portanto, nessa forma, a equação (1) NÃO é exata. (Logo, para a forma dada originalmente y'=xy a etiqueta E não se aplica.)

Passo 5

Definição e teste de “coeficientes homogêneos” (H) para equações de primeira ordem.
  • Uma EDO do tipo \dfrac{dy}{dx}=F\!\left(\dfrac{y}{x}\right) é dita homogênea (ou admite substituição y=vx). Outra definição: na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, se M e N são funções homogêneas do mesmo grau, também é homogênea.
  • Verificação para (1): temos \dfrac{dy}{dx}=x\,y. A função do lado direito é F(x,y)=x\,y, que não depende apenas de y/x; ou seja, não é da forma F(y/x). Portanto (1) não é uma EDO homogênea no sentido habitual de primeira ordem. Conclusão: etiqueta H não se aplica a (1).

Passo 6

Agora analiso a equação (2) dada em forma diferencial:
x\,dx - \frac{1}{y}\,dy = 0.
Primeiro reescrevo para ver se é equivalente à (1): movendo o termo com dy,
x\,dx = \frac{1}{y}\,dy \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = x\,y,
ou seja, (2) é algebraicamente equivalente à equação (1). Portanto, como equação ODE, ela tem as mesmas soluções; porém a forma diferencial em que foi apresentada permite testar exatidão diretamente.

Passo 7

Testes para a equação (2).
  • Separabilidade (VS): a manipulação acima mostra
\frac{dy}{dx} = x\,y,
logo é separável. Então (2) é VS.
  • Linearidade (L): escrevendo como y' - x\,y = 0 vemos de novo a forma linear com p(x)=-x e q(x)=0. Logo (2) também é linear (L).
  • Exatidão (E): agora trato (2) exatamente como uma forma M\,dx + N\,dy =0 com
M(x,y)=x,\qquad N(x,y)=-\frac{1}{y}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 0,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 0.
Como são iguais (ambas zero) em qualquer ponto com y\neq 0, a forma é exata no domínio onde y\neq 0. Portanto, a equação (2) é exata (E) — atenção: é importante mencionar o domínio, porque N contém 1/y (não definida em y=0).
  • Homogeneidade (H): a partir de \dfrac{dy}{dx}=x\,y já vimos que não é da forma F(y/x), então H não se aplica.

Passo 8

Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
  • Uma mesma EDO pode ser apresentada de formas diferentes; a propriedade “exata” é uma propriedade da forma diferencial específica M\,dx+N\,dy=0 que se está considerando. Assim, duas representações equivalentes podem ter conclusões diferentes sobre exatidão se escritas como formas diferentes. Entretanto, propriedades intrínsecas como ser separável ou linear (quando identificáveis) persistem porque derivam diretamente da expressão \dfrac{dy}{dx}=\cdots.

Resposta

\;y' = x\,y: L, VS\n
\;x\,dx - \dfrac{1}{y}\,dy = 0: L, VS, E

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