Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
- A incógnita é a função
. - A derivada de
em relação a é denotada por . - Os coeficientes são funções de
: o termo que multiplica é e o termo do lado direito é . - A questão pede a família geral de soluções (ou seja, a solução geral com a constante arbitrária de integração).
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Para uma equação linear de primeira ordem do tipo
Para uma equação linear de primeira ordem do tipo
existe um método padrão chamado fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
(o fator integrante) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. Isso facilita porque então podemos integrar diretamente.
A razão disso é a regra do produto: se
então
Queremos que
, pois assim
. Logo escolhemos
de forma que
Vou aplicar isso ao nosso
.
Passo 3
Cálculo do fator integrante
.
Temos . Então
Temos
Como
(mais uma constante irrelevante multiplicativa), obtemos
Observação: multiplicar
por uma constante positiva daria outro fator integrante válido; normalmente tomamos a forma acima por simplicidade.
Passo 4
Multiplicar a EDO por
e usar a propriedade do produto.
Multiplicando a equação original por obtemos
Multiplicando a equação original por
Pelo cálculo de
(vou mostrar porque
):
Portanto o lado esquerdo é exatamente
Assim reescrevemos a equação como
ou seja
Passo 5
Integração de ambos os lados.
Integramos ambos os lados em relação a :
Integramos ambos os lados em relação a
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito fazemos a substituição padrão para integrar:
Então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resultado após integração (forma antes de isolar
).
A igualdade obtida é
A igualdade obtida é
com
. Este passo é o ponto em que se isola
dividindo por
para obter a família geral de soluções (a expressão final será colocada apenas na seção de resposta, conforme solicitado).
Passo 7
Verificação rápida de consistência e comentários didáticos.
- Ao derivar ambos os lados da igualdade do Passo 6 obtém-se de volta a equação do Passo 4, o que mostra consistência no procedimento:
que, dividindo por
, retorna à EDO original.
- Tomando
na expressão do Passo 6 obtém-se uma solução particular simples (que é útil em provas): a solução particular corresponde a constante tal que , ou seja . De fato, satisfaz . - A constante
é arbitrária e determina a solução geral da família de soluções. O domínio natural da solução é todo porque todas as funções envolvidas estão bem definidas para todo .
Passo 8
Dica prática para a prova (resumo rápido do método, como decorar).
- Para uma EDO
, lembrar: fator integrante . - Multiplica-se a EDO por
e reconhece-se o lado esquerdo como . Integra-se e isola-se . - Em integrais do tipo
, a substituição é a chave porque transforma em .